小升初数学用比较法解盈亏问题三种类型

　　我国有本古老的世界数学名著，叫《九章算术），此书是因书中共有九章有关实际应用问题及解法的内容而得名，这本书的第六章是＂盈不足章，也就是专门讨论盈亏问题的。盈，就是多余；，就是不足、不够的意思。
　　解有关盈亏问题，常常通过比较进行。
　　一、基本知识点
　　1、含义
　　按一定人数等分一定物品，每人分得少一些则有剩余，就叫盈；每人分得多一些则不足，就叫亏。在两次分配中，一次有余（盈）一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求分配的份数或被分配的总量的应用题，叫做盈亏问题，也叫做余不足问题。
　　2、特点
　　对象总量和总的组数是不变的。
　　3、类型
　　（1）一盈一亏；
　　（2）全盈；
　　（3）全亏。
　　4、数量关系
　　（1）（盈+亏）÷两次分配的每份数量差=份数；
　　（2）（大盈-小盈）÷两次分配的每份数量差=份数；
　　（3）（大亏-小亏）÷两次分配的每份数量差=份数。
　　（4）总数=每份数量×份数+盈数
　　总数=每份数量×份数-亏数
　　5、口诀
　　一盈一亏，盈亏加在一起；
　　全盈全亏，大的减去小的；
　　除以分配差，结果就是分配的物或人。
　　6、解题思路
　　先将两种分配方案进行比较，分析由于分配标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
　　关键问题：确定对象总量和总的组数。注意数量差与每份之间的对应关系。
　　二、一张思维导图归纳总结
　　三、经典应用
　　（1）一盈一亏
　　例1、幼儿园老师给小朋友们发皮球，如果每入发5个，还剩3个；如果每人发7少9个.问：有多少个小朋友，多少个皮球？
　　【分析】比较两种分球法中各个量之间的关系：每人发5个，还剩3个；每人发7个，则少9个。这两种分法，每人相差7-5=2（个），第一种余3个，第二种少9个，那么两次总共相差9+3=12（个），每人相差2个，结果总数就相差12个，所以有（12÷2）个小朋友，6×5+3=33（个）皮球。
　　【解答】小朋友人数：（9+3）÷（7-5）=6（个）
　　皮球个数：6×5+3=33（个）
　　答：有6个小朋友，33个皮球。
　　例2、学校安排新生住宿，如果每个房间住0个人，则有25个人没住下；如果每个房间住12个人，则有三个人可以每人住一个房间。问：学校一共有多少个房间？新生一共有多少个人？
　　【分析】两种分配方案明确＂分什么，剩什么＂，所以方案需要转化，转化后的方案：每个房间住10个人，则多25个人；每个房间住12个人，则少3×12-3=33（人）。根据一盈一亏公式，先求共有几个房间，再求共有几人。
　　【解答】房间数：[25+（3×12-3）]÷（12-10）=29（间）
　　人数：29×10+25=315（人）
　　答，学校一共有房间29间，新生一共有315人。
　　（2）全盈
　　例3、妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，那么还多出8个苹果，那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？
　　【分析】题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，多出8个苹果。观察每天个数与苹果剩余个数的变化，就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃6-4=2（个）时，苹果从多出48个到多8个，那么所需苹果总数要相差48-8=40（个）。从这个对应的变化中可以看出，只要求40里面包含多少个2，就是所求的计划吃的天数。有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。
　　【解答】计划吃苹果的天数：（48-8）÷（6-4）=20（天）
　　买回苹果的个数：4×20+48=128（个）
　　答：买回苹果128个，计划吃20天。
　　例4、用一根绳子测量井的深度，如果绳子折2折（折成相等的两段），绳子露出井口8米；如果绳子折3折，绳子露出井口1米，求井的深度是多少米？绳子长多少米？
　　【分析】用绳子测量井的深度，折2折，可以理解为绳子的长分给两个井的深度，相当于分2份，多出来16米；折3折，可以理解为将绳子的长分给三个井的深度，相当于分3份，多出来3米。根据＂全盈＂题型公式求解。
　　【解答】井的深度：（8×2-3×1）÷（3-2）=13（米）
　　绳子的长度：（13+8）×2=42（米）
　　答；井的深度是13米，绳子长42米。
　　（3）全亏
　　例5、学校新进一批书，将它们分给几位老师，如果没人发10本，还差9本；如果每人发9本，还差2本。请问有多少老师？多少本书？
　　【分析】比较两种分书法中各个量之间的关系：每人发10本，还差9本；如果每人发9本，还差2本。这两种分法，每人相差10-9=1（本），第一种差9本，第二种差2本，那么两次总共相差9-2=7（本），每人相差1本，结果总数就相差7本，所以有（7÷1）位老师，老师人数知道了，书的本数就容易求了。
　　【解答】老师人数：（9-2）÷（3-2）=7（位）
　　书的本数：7×10-9=61（本）
　　答：共有7位老师，61本书。
　　例6、工人们铺一条路基，每天如果铺260米，铺完全路长就得延长8天；每天如果铺300米，铺完全路长仍得延长4天，这条路长多少米？
　　【分析】如果按每天260米去铺，到限期还差260×8=2080（米）没铺完；如果按每天300米去铺，到限期仍差300×4=1200（米）没铺完。两种铺路方法总共相差2080-1200=880（米），每天相差是300-260=40（米），实际限定日期是880÷40=22（天），有了这个结果路基全长便好求了。
　　【解答】实际限定铺路日期：（260×8-300×4）÷（300-260）=22（天）
　　这条路全长：260×（22+8）=7800（米）