打通算法多样化与算法优化的脉络
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摘要：课程改革以来，算法多样化深入人心。许多一线教师热衷于算法多样化，但是由于缺乏对算法优化理念的深入解析，产生了一些误区：为算法多样化而多样化，没有及时优化，导致教学中的一些遗憾。本文力求从＂多样化＂和＂优化＂两个角度去把握算法多样化，打通它们之间的脉络。算法多样化是算法优化的前提和基础，在尊重算法多样化的前提下，要及时的优化。算法多样化走向算理上的最优化，也是必然的趋势。重视算法优化，会不断地促进算法的＂多样化＂。算法的优化，是在体验与反思基础上的内化过程。算法优化会促进个体的发展。只有打通算法多样化与优化的脉络，给学生一个扎实有效的课堂学习氛围，激发学生的创造思维，打通算法多样化与算法优化的脉络，促进知识的内化。
关键词：误区；意义；打通脉络；知识的内化
一、缘由
课程改革以来，对学生计算要求有所降低，也减去教材中一些偏、难、繁琐的计算，但学生的计算能力不升反降。这是什么原因，这会跟我们所提倡的算法多样化有关吗？我针对自己课程改革教学多年的感受，以及与同事，同行交流的一些心得整理出来，确实我们计算教学的算法多样化确实存在一些误区。
二、算法多样化的一些误区
1、为算法多样化而多样化。（1）把算法多样化等同于＂一题多解＂。＂一题多解＂是学生个体能力的表现，是一种很高的学习要求，在某种程度上说是很难达到的要求。算法多样化是群体学习能力的表现，是学生集体的一题多解，是学习个性化的表现。因此，个体在解决问题时没有必要掌握多种算法，让个体掌握多种算法的教学定位无疑加重了学生的学习负担，违背了算法多样化的精神实质。（2）老师＂索要＂多样化的算法。不能为了体现多样化而多样化，让学生绞尽脑汁，想出与众不同的、费解的算法，甚至引导学生寻求＂低层次算法＂。更不要为了凑数量，而介绍后续知识方法来充当现存的算法，学生不明白道理，只能死记硬背，结果是拔苗助长，事与愿违。
2、没有及时优化。（1）算法是多样化，但却表面化。算法多的热闹，但都是浮于表面，造成了算法多样化的表面化、形式化。（2）恰当使用＂你喜欢怎么算就怎么算＂。计算课教学中，教师常常会用＂你喜欢那种算法就用那种算法＂。急于让学生去选择＂喜欢哪种算法＂，没有要回头对各种方法进行评价与反思，通过对各种方法的辨析，来认识不同方法的特点与优势，以此来达到＂去伪存真、去粗取精＂的目的，实现＂优化选择＂。
以上情况的发生导致的结果是计算错误率的提高，以至于一些教师在怀疑算法多样化的必要性，究其原因主要是教师对算法多样化的认识存在着偏差。一方面认为要尊重学生，要让学生的个性得到发展，另一方面又急于对算法进行归纳提升，使算法多样化和算法优化失去关联脉络不通，达不到预期的效果。如何打通算法多样化与优化的脉络，需要先从了解什么是算法多样化，什么是算法的优化？
三、算法多样化与优化的意义
算法即算术方法。小学算法多样化是指在小学数学教学中，特别是在四则运算中，鼓励学生用多种多样的方法进行计算，从而使学生的思维获得某种训练，使学生具有开放的思维和意识。所谓的＂多样化＂是指＂群体的多样化＂。小学算法优化，是指在小学数学教学中，根据学生的认知特点、积累的运算经验以及学生擅长的计算思维方式，引导学生强化某种思维运算方式，从而使学生获得一种基于自身个性的优化思维运算。有了对意义的深入理解，我们不难看出，多样化与优化其实谁也离不了谁，它们是交融在一起。而如何恰当运用多样化与优化，打通它们之间的脉络，将是下面我要阐述的观点。
四、打通算方法多样化与优化之间的脉络
1、尊重算法多样化，是优化的根基。
（1）算法多样化是算法优化的前提和基础。爱因斯坦曾说：＂提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅仅是一个数学的或实验的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。＂这充分说明了从不同的角度思考问题的重要性。算法多样化正是提倡引导学生在解决问题时，尝试从不同角度、不同思路去考虑。同时，每个学生都有自己独特的思维方式和解决问题的策略。有比较才有鉴别，有特殊才有一般，有多样化才会有优化。只有引导学生算法多样化，才能引导学生尝试评价不同算法之间的差异，才能寻找解决问题的最佳途径。这种最佳途径是相对学生自身条件来说最好的思维运算，是相对优化的。
案例片段：20以内的退位减法。
例如，在＂20以内的退位减法＂＂12—9＂的教学中。学生得出了下面一些算法：①数数法；②破十法：10—9=1，2+1=3。③连续减：12—2=10，l0一7=3。④想加算减：9+3=12，12—9=3。⑤其他，联想：11—9=2，2+1=3等……
这是我并没有急于下结论，而是问：你认为那种方法好，你是怎么想的？
生1：我觉得破十法好，因为它好算。
生2：我是用第三种的，我爸爸教我的。
生3：我是用第四种的，我只用记一道算式就够了。因为9+3=12。所以12——9=3……学生各有各的理由，在学生看来，他们的方法就是最好，而我们的教师自己要清楚那些是最好的，如何让他们在这么多的方法中比较出来，感受算法优化的过程。这过程是一个促进学生学会反思、自我完善的过程。所以，教师应该把选择判断的主动权放给学生，为学生提供足够的时间，充分交流的机会。教师引导学生进行讨论交流、分析比较，让学生在用自己的算法和用别人的算法计算时。认识到差距，产生修正自我的内需，从而＂悟出＂属于自己的最佳方法。如上面＂12—9＂的多种算法呈现后，学生经历以上过程就可以选择出一般性算法，如第②～④种，即破十法、连续减、想加算减。教师要注意在引导评价算法时，不要讲＂优点＂，而要讲＂特点＂，把优点让给学生自己去感悟，为学生多留一点思考的空间，使得所有学生都能在原有基础上得到发展，才能达到优化算法的目的。从以上案例不难看出，如果没有学生的多种方法，何来的比较，何来的方法优化。
（2）算法多样化走向算理上的最优化，也是必然的趋势。＂算法优化意味着学生有一种基于天赋特点的优化思维运算，这是在算法多样化的过程中符合逻辑的自然结果。＂随着小学生学段的增加，小学生数学思维逐步发展，算法多样化走向算理上的最优化，也是必然的趋势。
案例：（片断）
12×4=48
师：请同学们想一想用什么方法这么快就算出是48呢。能把你的想法互相告诉你的同桌同学
生1：10×4=40，2×4=8，12×4=48
生2：12×4=12×2×2=24×2=48
生3：12×4=12+12+12+12=48
生4：6×4=24，6×4=24，12×4=48
师：以上几种方法，你觉得那种口算方法比较快，那种口算方法比较慢？
经过讨论学生一致得出方法1、2、4，都是比较快的。方法3是比较慢的。
师再追问：第四种真的快吗？
如果是这样的23×7=（ ），你会用那种方法？
生经过一会思考说：第一种……
两位数乘一位数，按人们长期总结的经验是直接从高位算起，并注意个位乘积的进位，再写得数，这样的速度比较快。为了使学生既能掌握这一方法，又能实现算法多样化，所以在以上教学中教师首先放手让学生充分展示自己的不同思考方法，紧接着引导学生比较那种口算速度快。学生在比较中至少感受到方法3是不快的，对于其他的方法，而是在计算23×7的环节中，使自己去感悟采用从十位开始的口算方法的优越性。
2、重视算法优化，体验万变不离其宗。
（1）学生算法的优化，是学生在体验与反思基础上的内化过程。算法多样化是一种手段不是目的，出现多样化的算法后，选择哪一种方法，是每个学生面临的问题。那么，对算法进行优化，则是学生数学思维质的飞跃。只有学生思维的飞跃，才有更多的想法，从而促进法的多样化，算法的群体化。
案例：《小数加减法》（北师大课标实验教科书四年级下册）
心语陪妈妈到百联超市购物，买了一瓶酸牛奶，单价1.25元；一袋饼干，单价2.41元。收银台要妈妈交3.66元，对吗？
创设情境学生根据情境提出数学问题并列出算＂1.25+2.41＂后，教师让学生自主思考计算方法。结果学生的想法主要有三种：
①利用生活经验，结合实际情境来解决。1.25元等于1元2角5分，2.41元等于2元4角1分。1元加2元等于3元，2角加4角等于6角，5分加1分等于6分，合起来就是3元6角6分，以元作单位就是3.66元，算式是1.25+2.41=3.66元；
②运用整数加减法进行推理（如图）。1.25元、2.41元可以分别看作125分、241分。
③借助数形结合直观图来解决（如图）。
比较上述三类方法，从解决问题的策略来讲，它们的确都能解决情境中的问题，也都能帮助学生理解小数加减法的本质意义。但是，教者如果仅仅满足于此，那么，这众多的方法在学生头脑中就必然是孤立的、零散的、没有结构的，甚至是相互干扰的。因此作为教师，有义务引领学生观察、比较、分析、归纳、发现其中的奥秘，帮助学生理解方法表象后面的本质内涵。下面是一位老师对此思考后的尝试：在学生交流介绍的时候，教师适时地抓住学生的关键语句，加以提炼：对于第一种类型，教师抓住了学生的＂元+元＂、＂角+角＂、＂分+分＂；对于第二种类型，提炼出了＂块+块＂、＂条+条＂、＂格+格＂；对于第三种类型，重点突出＂个位+个位＂、＂十分位+十分位＂、＂百分位+百分位＂。
由于有了这样的提炼，学生很容易理解了三种方法的共同点：相同数位对齐，相同数位上的数相加减。举一纲而万目张，解一卷而众篇明！对展示交流进行减法运算的意义正在于此。上述案例中，课堂虽然展示了多种方法，但是这些方法在学生头脑中却并不芜杂。这是因为各种方法都有一个共同的绳——相同数位对齐，相同数位上的数相加减。只要一拎这根共同的绳，那么各种方法就会一拎而百顺，纲举而目张！
（2）个体的差异促进算法优化。小学生每个人都有自己的生活背景、家庭环境、特定的生活与社会文化氛围，这导致了不同的小学生有着不同的思维方式，不同的兴趣爱好，不同的发展潜能。小学生的差异是客观存在的，教师应持一种客观的态度，使不同的学生得到不同的发展。
案例《找规律》片段。
教师先让学生听一段有规律的鼓点音频节奏，让学生思考：
①找一找，它的规律是什么？
②想出一种自己喜欢的方法把这个规律表示出来，让别人一眼就能看明白。
③在你的表示方法中，照这个规律排列下去。它的第17个是什么？
学生由于家庭环境不同、思维方式不同、文化背景不同，其对同一问题的理解和建构也各不相同。因此，学生纷纷展示了各自富有个性化的想法：
①用文字表示：强弱弱强弱弱……第十七个为弱；
②用数字表示：123123……第十七个为＂2＂；
③用符号表示：△□△○□……第十七个为＂○＂；
④计算：ABCABC……因为17÷3=5…2，所以第十七个应该是＂B＂。
＂那么，哪一种方法更简单呢？＂随着老师的询问，学生几乎异口同声地认为第四种方法也就是计算的方法最简单。
＂为什么？＂教师追问。
＂因为计算省时，一道算式就够了，不像字母、符号、汉字那样要一个一个地板书，这样数字大的时候就非常麻烦，比如说问第101个鼓点，想一想，如果用汉字写要写到什么时候？＂
＂那么其他方法就一点优点都没有了吗？＂教师反问。
学生陷入了沉思，很快有学生发言了：＂文字、图形、汉字清楚直观，答案是什么，一眼就能看清楚。而且它能保证答案绝对正确！＂
＂那么你觉得什么时候用什么方法就比较合适？＂
＂数字小时，比如说七八个时选择图形、文字、字母等方法比较合适；如果数字大了，用计算的方法相对来说简单一些。
没有＂最好＂的算法，只有＂最适合＂的算法。只有经过优化，多样化才有意义。上述教学的意义正在于此。教学中，学生通过分析、比较，不仅明了了各种算法的价值和适用范围，体悟了具体问题具体分析的策略，同时更重要的，学生在反思中形成了沟通接纳的思想和并蓄包容的多元价值理念。而这不正是新兴人才必备的基本素质吗？
在对算法优化的认识上，也是如此。不同的小学生对算法优化的认识有差异。也许在多数人看来是不好的算法，但他却认为是优秀的，因为他能理解，能应用，能帮他解决数学问题。教师不要急于评价学生的各种算法，应引导学生通过比较各种算法的特点，选择适合自己的方法。只要是适合的，就是相对优化的算法。
算法优化与算法多样化都有利于学生思维的发展，算法优化有利于培养学生思维的深刻性，算法多样化有利于培养学生思维的灵活性和开放性。算法优化和算法多样化如同一枚硬币的两面，二者密不可分，共同促使学生的思维从低级阶段向高级阶段发展。没有算法优化，只有算法多样化，只会使算法多样化成为形式上的多样化，不符合人类认知的规律。由此可见，算法多样化和算法优化二者实质上并不矛盾。它们在本质上是两种思维训练。因此，在小学数学教学中，只要我们打通算法多样和算法优化的脉络，引导学生进行体验与反思，自觉进行算法的优化，促进知识的内化。最终让每一个学生在数学上都有所发展。
参考文献
[1] 斯苗儿《小学教学教学案例专题研究》浙江大学出版社2005年3月第一版.
[2] 张奠宙著——《小学数学研究》高等教育出版社2009年一月第一版.
[3] 朱慕菊《走进新课程》北京师范大学出版社2002年6月第一版.
[4] 陆建霞＂把握五个平衡，提高计算能力＂《小学教学参考》2010年12月版.