基于噪声理论视角下单模激光系统的研究方法和发展历
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付燕 王国威
【摘 要】文章以单模激光系统为问题的着手点，系统地阐述了诸多非线性随机过程具体的研究方法，以期对此研究过程做出较全面的分析。
【关键词】噪声；单模；激光系统；统计性质
一、引言
噪声理论揭示人类文明社会以及大自然中广泛存在的普遍性，已经成为一个举世瞩目的研究热点和学术前沿[1]。研究者发现，只要使用足够精确的测量仪器，几乎所有的物理量都会随时间出现＂涨落＂，通常情况下，研究者称这种快速变化且普遍存在的随机涨落为＂噪声＂。从宏观层次上看，噪声显示出微观层面上相粒子的运动对宏观变量产生的影响，并且时刻存在于宏观世界。
对统计物理以及非线性学科最近几十年的探索表明：噪声并不仅仅总是出现消极的干扰，它也可以产生若干研究者意想不到的结果，甚至会产生很多出人意料的现象。比如，对宏观系统而言，噪声可以使其从有序变为无序，也可以从无序变为有序。
二、激光模型
激光模型最早出现于1960年前后，该模型是非平衡统计物理自组织系统中非常典型的例子。在常温条件下，当增益介质处在无激发状态时，由于上能级粒子数量比较少，如果存在一束光通过发光物质，则受激吸收远大于受激福射，此种情况下不形成激光。但是，如果采用放電、光照或者其他方法对发光物质输入能量（该过程称为泵浦、抽运或者激励），当激励的能量大于激光系统某一阈值的时候，会导致上能级的粒子数大于下能级的发光粒子数，从而出现粒子数反转。此时系统中即使没有入射光，但只要发光物质中有一个光子存在，且满足频率合适的要求，便可产生连锁反应，迅速激发大量相同光子态的光子，从而形成激光。
激光器的理论物理基础是光频电磁场与物质的分子、离子或者原子之间的共振相互作用。在理论物理范畴内，可以从三个层次对激光器进行物理描述，分别是速率方程理论、半经典理论和全量子理论。
三、研究方法的发展进程和现状
（一）随机共振理论
R. Benzi等人于1981年左右研究古气象冰川问题时，提出＂随机共振＂的概念。在R. Benzi等人提出的气候问题理论模型中发现，在R. Benzi等人考虑的气候问题理论模型中，由于地球是处于非线性条件下的，只有将太阳对地球施加的这个微小且周期变化的信号，与这个期间内地球所受到的随机力，和地球本身的非线性条件这3个条件结合起来，并且分析和讨论它们最终的协同作用，才可以完整地解释上述气候现象问题。对于上述模型而言，地球是处在非线性条件下的，这种条件使得地球可能取冰川期（即冷态）和暖气期（即暖态）这两种状态。由于地球离心率的周期变化，导致气候在这两个状态之间变动，而地球受到的随机力，则在一定程度上提高了较小的周期信号对整个非线性系统的调制能力，通过＂随机共振＂最终引起了地球古气象的大幅度周期变化。
（二）线性化近似理论
下面通过以线性化近似方法来处理单模激光增益模型的过程为例进行介绍。
假设已知单模激光增益模型的光强方程，并用周期信号对泵噪声进行调制，然后通过推导得到加入噪声之后单模激光增益系统的朗之万方程。根据线性化近似方法，在确定论光强项中引入微扰项，并在确定论光强附近作线性化近似处理，根据单模激光系统稳态光强关联函数的定义，对稳态光强关联函数作傅里叶变换，得到系统输出光强功率谱。对系统输出光强功率谱进行整理，同时得到输出信号功率谱和输出噪声功率谱的表达式。根据信噪比定义，依据已经得到的相关表达式，通过计算得到系统信噪比具体解析表达式。研究者可以把系统输出光强功率谱以及系统信噪比作为研究单模激光增益系统的重要参数，且这些参数均在很大程度上准确地反应出系统的性质。
从上述推导过程可以看出，线性化近似方法有一个很大的优点，那就是它对信号、噪声没有任何限制条件。
（三）绝热近似理论
绝热近似理论是由Wesenfeld和McNamara研究团队在1989年提出来的。假设有一双稳系统，同时在该系统中输入信号和噪声。双稳系统最常见的模型为一3次方程，如果系统中不加信号和噪声，那么系统有两个稳态，且系统的运行轨道将在两个稳态附近作局域性的周期简谐振动。但是，如果在系统中引入噪声，则系统会在两个稳态之间进行跃迁。用概率分布函数来描述这一过程，可以写出与其对应的福克-普朗克方程。然后将上述连续模型简化为两态模型，当输入信号和噪声强度都很小，可以将系统的两个连续吸引区看作两个离散的吸引子，则处在两个吸引子处的概率总量分别可以求出。
在绝热近似条件下，非线性系统福克-普朗克方程的长时间演化行为可以根据实际模型简化为概率交换的主方程。假设其跃迁率形式可求，利用泰勒公式展开，得到展开式中相关参数的一次项带入主方程，通过计算推导出系统稳态概率密度分布函数的解析解，然后利用渐进态可求得随机变量相关函数的具体形式。由于该相关函数既与时间间隔有关，又和时间的初始值有关，因此统计意义上的相关函数是初始时间的系综平均。根据上述分析，则可以将输出信噪比定义为输出总信号功率与单位噪声谱的平均功率之比。
从以上推导过程可以看出，绝热近似对信号、噪声和系统有严格的的限制条件，该方法要求信号频率、振幅以及噪声强度均远小于1。这一要求看似不甚实际，但在具体的物理系统中，这些限制条件有时又恰好是合理的。
（四）微扰理论
1990年，中国学者胡岗教授注意到福克-普朗克方程与薛定谔方程极为相似，首次将微扰理论应用到求解福克-普朗克方程的过程中。
假设需要处理的模型仍然是一个同时输入信号和噪声的简单双稳系统，该系统对应的福克-普朗克方程方程可求。且方程中引入信号振幅远小于1时，则可以将微弱信号看成微扰。根据上述方程得到无微扰福克-普朗克方程，且假设无微扰的福克-普朗克方程全部本征函数和本征值已经求得，则可以求得无微扰福克-普朗克方程的定态解。根据正交性和归一化条件，可得在本征表象中上述福克-普朗克方程的解。当时间趋近于无穷大时，假定稳态概率密度函数为一周期函数。这时，可将稳态概率密度函数通过傅立叶函数展开，并在本征矢上进行分解，将其结果代入福克-普朗克方程，可得到无穷个耦合的代数方程组。对关联函数进行傅立叶变换，并只取正频部分的功率谱，将输出信噪比定义为输出总信号功率与处的单位噪声谱的平均功率之比，可以得到系统的信噪比。
信噪比的定义与绝热近似理论的定义相同，从推导的过程可以看出，它成立的条件对于信号频率和噪声强度都没有限制。因此，微扰理论的适用范围比绝热近似理论更加广泛。但是，在应用这种方法时，必须先求解无微扰的福克-普朗克方程的全部本征函数和本征值，而求解这一步往往也是非常困难的。
四、结论
非平衡统计物理的研究受到复杂数学计算和传统确定论物理思想的困扰，但长期以来，研究者从未放弃过对它的理论探索。文章首先简要介绍了激光模型，然后介绍了利用4种理论解释激光单模系统中处理问题的思路，并说明4种理论各自的适用性和局限性。根据这4种理论各自的不同特点，可以指导研究者在不同的问题中选用适当的方法来展开自己的研究工作。
【参考文献】
[1]张良英，曹力，吴大进.具有色关联的色噪声驱动下单模激光线性模型的随机共振[J].物理学报，2003，52（5）：1174–1178.
[2]王国威. 噪声作用下双稳系统和集合种群的统计性质研究[D]. 长江大学，2014.