奥本海姆信号与系统第版笔记和课后习题

　　第7章 采 样
　　7.1 复习笔记
　　一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理
　　1冲激串采样
　　（1）冲激串采样的定义
　　冲激串采样是指用一个周期冲激串p(t)去乘待采样的连续时间信号x(t)。
　　该周期冲激串p(t)称为采样函数，周期T称为采样周期，而p(t)的基波频率ω＝2π/T称为采样频率。
　　（2）采样过程（图7-1）
　　在时域中有
　　其中
　　即
　　由相乘性质
　　有
　　因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，于是有
　　即Xp(jω)是频率ω的周期函数，它由一组移位的X(jω)的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化。
　　图7-1 冲激串采样
　　（3）采样定理
　　设x(t)是某一个带限信号，在|ω|＞ωM时，X(jω)＝0。如果ωs＞2ωM，其中ωs＝2π/T，那么x(t)唯一地由其样本x(nT)，n＝0，±1，±2，… 所确定。
　　已知这些样本值，重建x(t)的办法：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为T，截止频率大于ωM而小于
　　的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是x(t)。频率2ωM称为奈奎斯特率。
　　2．零阶保持采样
　　（1）零阶保持的含义（图7-2）
　　在一个给定的瞬时对x(t)采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止。
　　图7-2 利用零阶保持采样
　　（2）零阶保持采样的过程
　　零阶保持的输出x0(t)在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到。
　　①用一个单位冲激响应为hr(t)，频率响应为Hr(jω)的线性时不变系统来处理x0(t)。
　　②给出一个Hr(jω)，以使r(t)＝x(t)。
　　这就要求
　　若H的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7-4所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。
　　图7-3 作为冲激串采样，再紧跟一个具有矩形单位
　　冲激响应的线性时不变系统的零阶保持
　　图7-4 为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性
　　二、利用内插由样本重建信号
　　内插是指用一连续信号对一组样本值的拟合。
　　1．零阶保持
　　2．线性内插（一阶保持）
　　（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来。
　　（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）：
　　①输出x0(t)为
　　时
　　上式体现了在样本点x(nT)之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。
　　②对于理想低通滤波器H(jω)，h(t)为
　　所以有