纳什不均衡的人生

　　美国时间5月23日下午4点半，交警接到新泽西州收费高速公路上发生一宗交通事故的报告。这条公路是美国最繁忙的高速公路之一，交通事故在这里并不罕见。一辆出租车在尝试超车的时候失控，撞上了防护栏，车上一男一女两名乘客被甩出车外，警察认为他们没有系好安全带。当警察赶到现场时，两名乘客已经伤重不治。
　　也许对于交警来说，这仅仅是由人为疏忽导致的又一场悲剧，但对于数学界来说，它意味着又一颗巨星的陨落，因为这两名乘客，正是约翰·纳什与他的妻子阿莉西亚·纳什。
　　很多人来说，数学家可能是遥不可及的存在。他们醉心于那个由各种抽象符号组成的世界，而似乎离现实很远很远。《美丽心灵》以诺贝尔经济学奖获奖者约翰·纳什的经历为素材，讲述了一位患上精神分裂症的数学天才，在爱与理智的帮助下，逐渐痊愈的感人故事。但电影毕竟是艺术抽象，它偏重于纳什博士与精神分裂症抗争的过程。那么，他属于数学家的一面，又是如何呢？
　　不世出的数学天才
　　＂这人是个天才。＂
　　这就是纳什的硕士导师给他写的推荐信，只有一句话的推荐信。
　　约翰·纳什的确是个天才。中学时代，在父母的支持下，他就开始在附近的大学旁听高等数学的课程了。尔后，他得到了卡耐基技术学院（今卡耐基-梅隆大学）的奖学金，攻读数学。仅仅用了三年时间，他就完成了硕士学位。
　　在他寻找攻读博士的学校时，哈佛大学与普林斯顿大学都向他伸出了橄榄枝。普林斯顿提供的奖学金比较多，纳什认为这表明普林斯顿更看重他的才能。尽管哈佛大学的学术实力也很强，但＂士为知己者死＂，纳什还是选择了普林斯顿。
　　刚进入普林斯顿的纳什，不像电影描述的那个腼腆的天才。相反，他属于骄傲好胜的类型。他不爱上课不爱看书，相对于跟随前人的步伐，他更喜欢自己在数学的世界探索。吹着巴赫曲子的口哨，他可以独自做上一整夜数学，不知疲倦。
　　但普林斯顿并不是只有他一位数学天才。系主任莱夫谢茨，纳什的导师塔克，还有福克斯教授，都是当时各自领域的巨擘。而在与纳什同辈的学生中，也有像盖尔、沙普利这样日后的数学家，更值得一提的是当时的本科生米尔诺，这位日后的菲尔茨奖获得者。
　　这些天才凑在一起，总爱分个高下，而像国际象棋和围棋之类的智力对抗游戏恐怕最对他们的胃口了，有事没事总有人在公共休息室里一局一局地下棋。不像电影中描述的那样，纳什其实算得上下棋高手。实际上，纳什当时研究的博弈论，正是一门以各种博弈为研究对象的应用数学分支。
　　当时博弈论仍然处于起步阶段，在高等研究所的冯·诺依曼是当时该领域的带头人，他对零和博弈作出了非常深入的研究。所谓零和博弈，即是所有对局者收益的综合为零，一方获益必然意味着一方损失。然而，现实生活中的博弈没有这么简单，双赢和两败俱伤的情况常有发生。
　　就以当时美苏冷战为例，如果单纯将对方的损失看作己方的收益的话，双方的最优策略都是先发制人给对方最大的打击，这当然很不现实。由于这种局限性，尽管对零和博弈的研究非常深入，但在应用上价值不算太大。
　　令学界眼前一亮的＂纳什均衡＂
　　于是，当纳什在1950年发表对非合作博弈的研究时，博弈学界眼前为之一亮。他证明了，即使放弃了＂所有对局者收益总和为零＂的假定（简称零和假定），对于每个博弈，仍然存在一个＂均衡点＂。在均衡点处，对于每位对局者来说，更改自己的策略不会带来任何好处；也就是说，每位对局者的策略都是当前的最优策略。这样的均衡点后来被称为纳什均衡。如果所有对局者都是理性的话，最后博弈的结果一定落在某个均衡点上。这就是均衡点重要性所在之处：如果知道一个博弈的均衡点，就相当于知道了博弈的结局。又因为去掉了零和假定，纳什均衡的应用范围远比零和博弈广泛。
　　以此为题材，在导师塔克的指导下，纳什完成了他的博士论文。可是，此时纳什的研究兴趣早已转向更纯粹的数学领域。甚至在他完成博士论文之前，他已经开始对代数几何——一个高度抽象的数学领域——产生了兴趣，并作出了一些开拓性的研究。
　　与博弈论不同，尽管代数几何在今天已经成为数学主流，在实际生活中它并没有太多的应用。在数学家的眼中，通常代数几何被分类为＂纯粹数学＂，而博弈论则是＂应用数学＂中的一员。虽然数学在众多的领域中有着重要的应用，但可能令局外人惊讶的是，近代的数学家并不特别看重应用，而更关注数学本身的智力美感。
　　英国数学家哈代在他的《一个数学家的辩白》中就曾写道：＂用实践的标准来衡量，我的数学生涯的价值是零；而在数学之外，我的一生无论如何都是平凡的。＂像纳什这样有才华的数学家，如果像在电影中那样只关注博弈论的话，实在难以想象。而纳什转向代数几何的一个原因，也正是因为担心关于博弈论的研究可能不会被数学系作为毕业论文接受。
　　纳什转向代数几何的另一个原因可能更容易明白。纳什均衡超越了冯·诺依曼的零和博弈研究，而因为冯·诺依曼当时也在普林斯顿，所以应该会出席纳什的论文答辩。纳什认为这样的状态可能对他不利。
　　实际上，纳什曾与冯·诺依曼讨论他的纳什均衡理论，但冯·诺依曼并没有表现出多大的兴趣。＂不过是另一个不动点定理。＂这就是他的评价。所以纳什认为冯·诺依曼并没有意识到纳什均衡的重要性，很可能为他的论文答辩带来麻烦。
　　尽管数学家研究的是最纯粹的理论，他们有时也不得不面对那错综复杂的现实。
　　幸而纳什的博士论文答辩仍算顺利，从入学开始，仅仅花了一年半的时间，他就获得了普林斯顿的数学博士学位。这无论在什么时代都称得上高速度。也由于他的这篇论文，当时美国冷战智库兰德公司在他毕业后旋即将他招至麾下，因为他们认为纳什对非合作博弈的研究可能会在冷战中发挥作用。
　　在兰德公司工作一年后，在1951年，他又回到了学术界，任职于麻省理工学院数学系。这时，他才将在普林斯顿对代数几何的研究写成论文《实代数流形》发表。
　　MIT：事业与爱情
　　从1951年到1959年春天，纳什在麻省理工学院任职的这几年可以说是他在数学研究上最有价值的几年。他解决了黎曼流形在欧几里德空间中的等距嵌入问题，这个问题与广义相对论有着有趣的联系，属于微分几何——另一个高度抽象的纯数学领域——的范畴。这个问题跟很多纯数学问题一样，由于艰深，从未被大众所了解，但在当时算是相当重要的进展。这也是纳什在纯数学上最大的贡献。
　　尔后在1956年，他开始研究一个有关偏微分方程的问题。这时，他那种不爱看论文而独自研究的个性让他吃到了一些苦头。他并不知道，当时比萨大学的德乔治也在研究这个问题，已经有了一定的进展。实际上，他跟德乔治各自独立解决了这个问题。虽然纳什的解答更为精彩，然而是德乔治首先解决了这个问题。这种由于自己的无知而被他人捷足先登的经历，也许给纳什造成了一定的心理创伤。
　　在麻省理工学院的这段时间，纳什遇到了艾莉西亚，在1957年两人结婚了。在1959年的春天，艾莉西亚怀孕了。这时的纳什三十出头，在学术界有了一定的地位，还有一个美满的家庭。一切看起来都是那么美好。
　　谁又想到仅仅几个月后，纳什便堕入精神分裂症的深渊呢？
　　精神分裂的折磨
　　据纳什所言，他在艾莉西亚怀孕的头几个月开始出现妄想的思维，并不像电影描述的那样在进入普林斯顿伊始就出现了幻视。最初发现这点的可能是他的数学同事。当时纳什声称有了一个新想法，有希望解决黎曼猜想。
　　黎曼猜想是解析数论的一个非常重要的核心问题，无论谁解决了这个问题，都会得到数学界无上的荣耀。然而，当他的同事与他讨论他的新想法时，却发现他的想法过于疯狂经不住推敲。尔后，纳什作了一个关于他的新想法的报告，但这个报告已经失去了思维的光泽。他的同事开始觉得，其中必定出了些什么问题。
　　更多的妄想症状陆续出现。纳什开始认为他是某个重要政治人物，有一个秘密团体在追杀他，这是典型的被害妄想症状。情况不断恶化，最后在1959年四月，艾莉西亚不得不将纳什送进精神病院。
　　为什么当时事业有成家庭幸福的纳什会突然患上精神分裂症呢？是不是没有做好妻子怀孕的心理准备导致的？＂数学是年轻人的游戏＂，是不是因为害怕自己的数学才能随着年龄增长而逐渐枯竭？是不是与德乔治竞争的经历给他带来了压力？抑或是父母的遗传所致？我们难以给出一个准确的回答，因为我们对精神分裂症仍然知之甚少。但有一点可以确信的是，在精神疾病面前，即使是那些拥有最理性的心灵，研究最抽象的理论的数学家，也与普通人一样脆弱。
　　纳什被困在他的妄想之中。他开始出现幻听（但没有过像电影中的幻视）。入院治疗，出院后辞职逃往欧洲，被遣返美国治疗，离婚，胰岛素休克疗法，更多的药物治疗，出院。在1970年后再也没有入院治疗过，寄居在前妻家中。在这十年间，出现过几个月的短暂清醒时期。在这段时期，纳什做出了一些有意义的研究。但很快，他又陷入了妄想之中，而他的名字，也逐渐被数学界所遗忘。
　　但他的理论没有被遗忘。在他与精神分裂症缠斗之时，来自经济学界、博弈学界的学者们，在纳什均衡的基础上，发展出各自的理论，并将其应用到实践中，从股票市场到拍卖交易。他的理论以另一种方式记录着他的存在。
　　重回理性
　　经过漫长的岁月后，奇迹发生了。纳什的精神分裂症像冰雪消融那样，一点一滴地缓解了。他开始理性地拒绝那些妄想，不再出现幻听，逐渐开始正常的生活和研究，甚至还学会了使用计算机。在八十年代后期，他开始利用电子邮件与别的数学家交流，这些数学家认出了纳什，而且发现他的数学思维恢复了，又开始进行有意义的数学研究了。正是这些数学家让大家知道，纳什从精神分裂症的深渊回来了。
　　部分由于这些数学家的努力，纳什开始重新被学术界承认。迟来的荣誉接踵而至，其中分量最重的莫过于1994年的诺贝尔经济学奖，获奖原因正是纳什均衡。随着这个诺贝尔奖，他又能以学者的身份重新拾起科学研究。尽管不再年轻，他仍希望能像过去那样，做出有价值的成果。他与艾莉西亚也在2001年复婚。尽管失去了数十年的宝贵岁月，对于现在的纳什来说，能平静地生活和研究，也许就是最大的幸福。
　　不得不说，有时候现实比电影更意味深长。《美丽心灵》只是纳什生平的一个不真实的写照，纳什本人的经历却更为动人。
　　纳什与妻子育有一子，他也是一名数学家，而更不幸的是，他也跟父亲一样，患上了精神分裂症，他给纳什的生活带来了一丝阴霾。即便如此，纳什仍然热情地继续着他的数学研究。
　　笔者能找到的他最近的一篇文章发表在美国国家科学院院刊上，题为《博弈实验中结盟的代理方法》（The agencies method for coalition formation in experimental game），研究在实验室中面对非合作博弈游戏的人类玩家是如何结盟的，以验证纳什的理论结果。
　　除了继续博弈论的研究之外，纳什的兴趣还涉及爱因斯坦的广义相对论、数理逻辑以及经济学，特别是有关理想货币的研究。（他的研究可以在他的个人主页上看到：http://web.math.princeton.edu/jfnj/）
　　最近，纳什在纯数学方面的研究也终于获得了承认。就在今年3月，纳什获得了阿贝尔奖，这个奖项由挪威皇室颁发，相当于数学界的诺贝尔奖，与菲尔兹奖、沃尔夫奖并列数学界最高荣誉。
　　这次的阿贝尔奖由纳什与纽约大学的路易·尼伦伯格分享，为了表彰他们＂在非线性偏微分方程以及它们在几何分析中卓越的开创性贡献＂。自此，纳什成为了目前唯一的诺贝尔奖（经济学）与阿贝尔奖（数学）的双料获奖者，这也代表了他年轻时代研究的两个主要方向。
　　只可惜好景不长，仅仅三个月后的现在，他不得不永远终止他的研究。但是，无数学者，仍会沿着他开创的道路前行：
　　小约翰·福布斯·纳什，享年86岁；阿莉西亚·纳什，享年82岁。