试论高中数学中函数与方程思想的运用

　　摘要：函数作为高中数学的生命线，直接影响着我们的高考成绩。然而，由于函数概念的抽象性太强，使得很多学生对此内容理解不够透彻，很难从本质上掌握函数知识，可以说，函数学习已成为高中生求知途中的一项顽固任务。对此，我就函数与方程思想在高中数学学习中的体现做些浮浅的分析，希望对同窗们有所帮助。
　　关键词：函数；方程；高中数学
　　作为高考热重点内容的函数，一直渗透在中学数学的各个部分，可以说它是高中数学的中流砥柱。经多方面分析发现，其重要性还在日趋剧增。但是有相当一部分学生对这些章节的内容，根本得不到从本质上的理解和掌握，这就是造成在高考中失分的原因之一。下面我以实际例题，来谈几点解题方法。
　　一、函数图像解题法
　　由图知：它们的交点个数是：3，故答案为：3。
　　数形结合是一个重要的数学思想，就是使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图形性 质的相互转化，将抽象的数量关系和直观的图形结合起来研究数学问题。利用数形结合思想解决数学问题也与目前提倡的新课程改革的思想是一致的。
　　二、运用均值不等式和三角函数的方法解决求值问题
　　求值问题一般包括求最值和求方程解的一些问题以及根据条件求范围等一些相关问题。在求最值问题中特别是均值不等式和三角函数的方法运用得非常多，而且也比较的灵活。
　　例如：设a，b∈R，a2+2ab2=6则a+b的最小值是多少？
　　分析：已知一个二元二次方程，要想求a+b 的最小值，最常用的方法就是将已知的方程转化为三角函数的方法。
　　即：因为6=a2+2b2>=根号（2×a2×2b2）=2|ab|。
　　所以-6=<2ab<=6。
　　所以-3=
　　又因为|a+b|>=|ab|=3。
　　所以a+b的最小值是-3。
　　例如：若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则2ab|a|+2|b| 的最大值为多少？
　　分析：由a 是1+2b 与1-2b 的等比中项有a2+4b2=1。
　　2ab|a|+2|b|=21|b|+2|a|≤|b|·|a|2≤b2+（a2）22=a2+4b28=24。
　　所以当且仅当a=22，b=24或a=-22，b=-24 时，2ab|a|+2|b| 取最大值24。
　　三、运用方程思想解决函数问题
　　在三角函数中常常会用到函数与方程的思想来解决问题，运用函数和方程的有关性质解决某些问题，或用运动的观点分析和研究具体问题的数量关系，再通过函数或方程的形式把这种关系表示出来加以研究，从而使问题获得解决。有些从形式上并非函数问题，但经过适当的数学变换或构造，可使非函数问题转化为函数的形式加以解决。
　　例如：已知方程cos2x+sinx-a=0有解，求a的范围。
　　分析：将方程变形为a=cos2x+sinx，于是问题转化为求函数f（x）=cos2x+sinx的值域。
　　解：设f（x）=cos2x+sinx，则f（x）=-2（sinx-14）2+98 ，当sinx=14 时，f（x）有最大值98 ，当sinx=-1 时，f（x） 有最小值-2，故-2≤a≤98。
　　例如：函数f（x）=cos2x+2sinx的最小值和最大值分别为（ ）。（A）-3，1（B）-2，2（C）-3，（D）-2。
　　解析：由f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2（sinx- ）2+ ，当sinx=-1时，f（x）取得最小值-3；当sinx= 时，f（x）取得最大值 ；故选（C）。
　　例如：若9cosB-3sinA+tanC=0，sin2A-4cosB·tanC=0，求证：tanC=9cosB。
　　分析：本题由两个等式推一个等式，一般是从等式变换中获得，但由于各等式中所含的三角函数的名与角都不相同，就换一种观点，先用方程来观察已知式子的特征，变形得：9cosB+tanC=3sinA，9cosB·tanC=94sin2A ，于是，由韦达定理知9cosB，tanC 是二次方程x2-3sinAx+94sin2A=0 的两个根，因为△=9sin2A-4×94sin2A=0，所以二次方程的两个根相等，即tanC=9cosB。
　　另外，在三角函数中也通常与数形结合起来。数形结合可以将抽象的三角函数语言与直观的图形结合起来，把图形的性质转化为数量关系来研究，或把数量关系转化为图形的性质来确定，这样可使数学问题得 到更好的解决。
　　四、运用方程及函数思想解决数列问题
　　數列是一种特殊的函数，它的定义域是正整数集或其子集。等差数列通项an=dn+（a1-d），前n项和Sn=d2n2+（a1-d2）n 在d≠0 时分别是关于n的一次函数、二次函数；等比数列通项an=anqn-1（q>0且q≠0） 是关于n的指数 函数，因此运用函数性质解决数列问题，是对数列概念的本质理解。
　　例如：已知数列{an}中，a1 =1，且点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上。
　　求数列{an}的通项公式。
　　解：∵点P（an，an+1）在直线x-y+1=0上，即an+1- an=1且a1 =1。
　　∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
　　∴an=1+（n-1）·1=n（n≥2），a1=1也满足。
　　∴an=n（n∈N*）。
　　例如：已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=1＼2 an （4-an），n∈N。
　　（1）证明an
　　分析：（1）先看当n=1时，根据题设求得a1，进而可知a0
　　（2）整理an+1=1＼2an4-an得，2（an+1-2）=-（an-2）2，令bn=an-2，代入2（an+1-2）=-（an-2）2整理求得bn，进而求得an。
　　解答：解：（1）1°当n=1时，a0=1，a1=1＼2a0（4-a0）=3＼2。
　　∴a0
　　2°假设n=k时有ak-1
　　则n=k+1时，ak-ak+1=1＼2ak-1（4-ak-1）-1＼2ak（4-ak）=2（ak-1-ak）-1＼2（ak-12-ak2）=1＼2（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）。
　　而ak-1-ak<0.4-ak-1-ak>0，∴ak-ak+1<0。
　　又ak+1=1＼2ak（4-ak）=1＼2 [4-（ak-2）2]<2。
　　∴n=k+1时命题正确。
　　由1°、2°知，对一切n∈N时有an