有关最大公因数和最小公倍数的各类应用题
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有关最大公因数和最小公倍数的各类应用题，只需一节课全部掌握。大家好我是小梁老师，这节课我们来学习这样的一类应用题，有关最大公因数和最小公倍数。
用求最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公因数与公倍数问题。解题的关键是先求出几个数的最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。
例题1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米?一共可截成多少段?
解题分析：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截多少段?
解：(18、24、30)＝6
(18÷6+24÷6+30÷6)＝3+4+5＝12(段)
答:每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例题2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大。截完后又正好没有剩余，正方形的边长最长可以是多少厘米?能截多少个正方形?
解题分析：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
解：(36、60)＝12
(60÷12)×(36÷12)＝5×3＝15(个)
答:正方形的边长最长是12厘米，一共能
截正方形15个。
例题3、用96朵红瑰花和72朵白政瑰花做花束。如每个花束里的红攻瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，问最多可以做多少个花束?每个花束里至少要有多少朵花?
解题分析：要把96朵红花和72朵白花做成花束，每束花里的红花朵数一样多，白花朵数也一样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花東的个数应是96和72的最大公因数。
解：(1)最多可以做多少个花束?
(96、72)＝24(个)
(2)每个花束里有几朵红瑰花?
96÷24＝4(朵)
(3)每个花束里有几朵白政瑰花?
72÷24＝3(朵)
(4)每个花束里最少有几朵花?
4+3＝7(朵)
答:最多可以做24个花束，每个花束里最少有7朵花。
例题4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每5分发车一次，第二路车每隔10分发车一次，第三路车每隔6分发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分再同时发车?
解题分析：这个所隔的时间一定同时是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数。＂最少过多少时间＂，那么，一定是5、10和6的最小公倍数。
解：(5、10、6)＝30(分）
答:最少过30分再同时发车。
例题5、某工厂加工ー种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每时可完成3个;第二道工序每个工人每时可完成12个;第三道工序每个工人每时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序至少安排几个工人最合理?
解题分析：安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每时完成零件个数的最小公倍数除以相应的每道工序每人每时完成的零件个数。
解：(1)在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少?
（3、12、5)＝60(个)
（2)第一道工序应安排多少人
60÷3＝20(人）
第二道工序应安排多少人
60÷12＝5(人）
(4)第三道工序应安排多少人?
60÷5＝12(人）
答:第一道工序至少安排20人，第二道工序至少安排5人，第三道工序至少安排12人。
例题6、有一批机器零件。每12个放一盒，多出11个;每18个放一盒，就少1个;每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件个数在300至400之间。这批零件共有多少个?
解题分析：每12个放一盒，多出11个，就是说，这批零件的个数被12整除后余11个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18整除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14(个)，也就是这批零件的个数被15除也少1个。也就是如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。
解：(1)刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个?
(12、18、15)＝180个
(2)在300至400之间的180的倍数是多少?
180×2=360个
(3)这批零件共有多少个?
360一1＝359(个)
答:这批零件共有359个。
例题7、一个数除193余4，除1089余9。这个数最大是多少。
解:这个数除(193－4)没有余数，这个数除(1089－9)没有余数，这个数一定是(193－4)和(1089－9)的公因数。要求的这个数一定是这两个数的最大公因数。
解：193-4=189
1089-9=1080
（189、1080)＝27
例题8、公路上有一排电线杆，共25根。每相邻两根电线杆距离原来都是45米，现在要改为60米，可以有几根不需要移动？
解题分析：不需要移动的电线杆一定既是45的倍数，又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数，以及这条公路的全长，再计算有几根电线杆不需要移动。
解：(1)从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动?
(45、60)＝180米
(2)全路长多少米
45X(25一1)＝45×24＝1080(米)
(3)可以有几根电线杆不需要移动?
1080÷180+1＝6+1＝7(根)
答:可以有7根电线杆不需要移动。
这节课学完后可有些收获？你还有哪些这方面的应用题可以补充的？我是小梁老师，有什么不会做的题目欢迎大家留言。下节课见！