高中数学均值定理的凑与配

　　不等式中的均值定理一直是高中数学的重点内容，同时也是高考的重点和热点，也是解决很多问题的重要工具，应用均值定理的前提是满足＂一正、二定、三相等＂，不过很多时候，题目的条件不满足这一条件，这时就需要适当的＂凑＂与＂配＂，下面结合具体例子予以说明。
　　一、凑＂正＂
　　例1.求
　　的值域。
　　解：将
　　变形为
　　后可用基本不等式，但不清楚是否为正，因此需要讨论。
　　由已知得
　　。
　　（1）若
　　，则
　　，故
　　，当且仅当
　　，即
　　时，取等号。
　　（2）若
　　，则
　　，故
　　。
　　∴
　　，当且仅当
　　，即
　　时，取等号。
　　因此，由（1）、（2）可知
　　的值域为
　　。
　　本题说明＂各项为正＂这一条件的重要性，当不确定时应进行分类讨论。
　　二、凑、配＂定值＂
　　1.＂凑＂和为定值
　　例2.设一个圆柱的轴截面周长为l，求其侧面积的最大值。
　　解：设圆柱底面半径为r，高为h，侧面积为S，满足
　　。
　　。
　　当且仅当
　　，即
　　时，S有最大值
　　。
　　对已知式子进行恰当的＂凑＂与＂配＂，再利用基本不等式求最值，这种技巧经常被使用。
　　2.＂配＂积为定值
　　例3.已知
　　，
　　，且
　　，求
　　的最小值。
　　解：∵
　　，
　　∴
　　。
　　∵
　　，
　　，
　　∴
　　。
　　当且仅当
　　，即
　　时，取等号。
　　解得当
　　，
　　时，
　　取得最小值为16。
　　三、凑＂相等＂
　　例4.求函数
　　的最小值。
　　解：
　　。
　　设
　　，则
　　，此时原式可化为
　　。
　　∵
　　，
　　∴
　　。
　　∴
　　。
　　当且仅当
　　，即
　　，
　　时取等号，此时
　　，解得
　　。
　　∴
　　。
　　此题是通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式，注意换元后
　　，若对
　　直接利用均值定理，则需满足
　　，即
　　或
　　，而在
　　时，无法达到，因此需要凑配＂相等＂以及积为定值，方可利用均值定理。
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