化动为静解圆锥曲线中的定值问题

　　化动为静—解圆锥曲线中的定值问题
　　ժ   Ҫ ：探索性问题中的定值问题，主要考查学生解决非传统完备问题的能力，以函数为蓝本, 将数学知识有机融合，并赋予新的情景创设而成的。在圆锥曲线中, 某些几何量在特定的关系结构中, 不受相关变元的制约而恒定不变, 则称该几何量具有定值特征, 这类问题称之为定值问题。那么如何动中觅静、动静互化以动制动，这就要求学生学会观察分析，“创造性”地综合运用所学知识解决问题。这类问题其过程可以用下图表示为：观察→猜测→抽象→概括→证明。
　　关键 词 ： 定值定点 圆锥曲线 特例 求解策略 动中觅静 以动制动
　　纵观近几年全国各地高考数学题的命制，都非常注重对学生能力的考查。定值问题作为探索性问题之一，很好地具备了内容涉及面广、重点题型丰富，而结论封闭、客观等命题要求，方便考查考生的分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱。本文仅就圆锥曲线中的定值问题，作一点解法上的探讨。
　　探求之一： 特值探路,  方向明确
　　(  个性与共性)  的辨证关系,  以特例探路,  从特例中求出几何量的定值。从而化繁为简，有了方向继而进行计算和推证。
　　例1 ： （山东理 22 ）  已知动直线  与椭圆 C:  交于 P 、 Q 两不同点，且△ OPQ 的面积 =, 其中 O 为坐标原点 .
　　（Ⅰ）证明  和  均为定值 ;
　　（Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求  的最大值；
　　（Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 ? 若存在，判断△ DEG 的形状；若不存在，请说明理由 .
　　（ I ）解：（ 1 ）当直线  的斜率不存在时， P ， Q 两点关于 x 轴对称，所以
　　因为  在椭圆上，因此   ①又因为
　　所以   ②由①、②得
　　此时
　　（ 2 ）当直线  的斜率存在时，设直线  的方程为
　　由题意知 m ，将其代入  ，得  ，
　　其中  即   …………（ * ）
　　又
　　所以
　　因为点 O 到直线  的距离为
　　又  整理得  且符合（ * ）式，
　　此时
　　综上所述，  结论成立。
　　波利亚所说:“ 特殊化石从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集, 或仅仅一个对象。”  特殊化策略是一种退的策略，通过特殊探索法借助“退”的结果不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索。
　　探求之二：利用恒等，方程架桥
　　例 2 ： . 已知椭圆 的右焦点 与抛物线 的焦点重合，
　　椭圆 与抛物线 在第一象限的交点为 ， . Բ 的圆心 是抛物线 上的动点,  Բ 与 轴交于 两点，且 .
　　（1 ）求椭圆 的方程；
　　（2 ）证明: 无论点 运动到何处, Բ 恒经过椭圆 上一定点.
　　解：（1 ）∵抛物线 的焦点坐标为 ，  ∴点 的坐标为 .
　　∴椭圆 的左焦点 的坐标为 ，抛物线 的准线方程为 .
　　设点 的坐标为 ，由抛物线的定义可知 , ∵ ,
　　∴ ，解得 .
　　由 ，且 , 得 . ∴点 的坐标为 .
　　.  .
　　∴ . ∴椭圆 的方程为 .
　　（2 ）设点 的坐标为 , Բ 的半径为 ，
　　∵ 圆 与 轴交于 两点，且 ,
　　∴  . ∴ .
　　∴Բ 的方程为 .
　　∵ 点 是抛物线 上的动点, ∴  ( ).
　　∴ . 把 代入  消去 整理
　　得: .   方程 对任意实数 恒成立， ∴   解得   ∵点 在椭圆 :  上,
　　∴无论点 运动到何处, Բ 恒经过椭圆 上一定点 .
　　探求之三：设参消参，借梯借船
　　从整体考虑, 瞄准所求, 抓住本质, 巧设未知数, 设而不求, 或整体求解, 或代换转化, 不仅会使问题化繁为简, 化难为易, 而且有助于培养同学们创造性思维, 提高同学们的分析问题、解决问题的能力.
　　例 3 ： .  已知椭圆 C ：  ＝ 1(a ＞ b ＞ 0) ， F 为其焦点，离心率为 e 。
　　（ Ⅰ ）若抛物线 x ＝  y 2 的准线经过 F 点且椭圆 C 经过 P (2,3) ，求此时椭圆 C 的方程；
　　（ Ⅱ ）过 A (0, a) 的直线与椭圆 C 相切于 M ，交 x 轴于 B ，且  ＝  ，求证： μ ＋ c2 ＝ 0 。
　　解：（ Ⅰ ）依题意知  (-2 ， 0) ，即
　　由椭圆定义知：  ,
　　所以  , 即椭圆  的方程为：  .
　　( Ⅱ ) 证明：由题意可设直线的方程为：
　　根据过  的直线与椭圆  相切  , 可得：
　　易知  设  ,  则由上知
　　由   ֪
　　，
　　探求之四：数形结合, 依旧好用
　　“ 数缺形时少直觉 , 形少数时难入微 , 数形结合百般好 , 隔离分离万事非”. 这说明以形助数可以使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化 . 那么“ 形” 从何来 ?“ 形” 从我们学过的知识中来 , 解析几何中大量存在着我们需要的“ 形”, 所以我们在教学中应强调几何模型与数学问题的转换。结合图象合理选取求弦长问题的方法。
　　例 4 ： 设 ， 点在 轴的负半轴上，点 在 轴上，且 ．
　　（1 ）当点 在 轴上运动时，求点 的轨迹 的方程；
　　（2 ）若 ，是否存在垂直 轴的直线 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
　　解：（ 1 ）  ，故  Ϊ  的中点．设  ，由  点在  轴的负半轴上，
　　则    又  ，
　　又  ，    所以，点  的轨迹  的方程为
　　（ 2 ）设  的中点为  ，垂直于  轴的直线方程为  ，
　　以  为直径的圆交  于  两点，  的中点为  ．
　　，
　　-------9 分
　　所以，令  ，则对任意满足条件的  ，
　　都有  （与  无关），即  为定值．
　　求定值是解析几何中颇有难度的一类问题，由于它在解题之前不知道定值的结果，因而更增添了题目的神秘色彩。解决这类问题时，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性。因此面对高考试题的命题原则,  应逐步养成分析条件、探究方向、选择方法、设计程序的良好思维习惯, 是从根本上提高数学能力的重要保证
　　参考文献：
　　[1] 蒋大明.    构造齐二次式解决圆锥曲线的两类定值问题 .
　　[2] 李云果.  圆锥曲线中定值问题的求解策略
　　[3] 李文宾.  探究“ 一定二动斜率定值” 问题