中考热点几何动点问题破解之术值得关注

　　近年来，各地的数学中考题中呈现出越来越多的具备独特魅力的有动点伴随的几何问题。这类问题往往综合性高，灵活性也较高，把数与代数、图形与几何等内容中的众多核心知识、方法、能力综合在一起，有效地考查学生在数学活动过程中所表现出来的思维水平。而大多数学生一看见动点＂，心里就充满了恐惧感，导致手忙脚乱，找不到解题的突破口。其实动点问题并不可怕，解决此类问题的关键是要善于把动态问题转化为静态问题来解决。
　　动点问题求解优化策略
　　动点问题的处理思路：
　　1.研究背景图形。
　　2.分析运动过程，画线段图，分段，定范围。（关注四要素）
　　①根据起点、终点，确定运动路径；
　　②速度（注意速度是否变化），借助s=vt确定时间（范围）；
　　③状态转折点，确定分段，常见状态转折点为拐点；
　　④所求目标——明确思考方向。
　　3.表达，分析几何特征，设计方案求解。
　　画出符合题意的图形，表达线段长，根据几何特征列方程求解，结合范围验证结果。
　　方法提炼：
　　1.基本原则：多画图，好图，图形越准确，分析越有利
　　2.具体步骤：
　　（1）求出所有动点在＂起点、拐点、终点＂对应的时间（2）将上述各关键时间点在教轴上一次罗列出来；（3）以这些关键时间点为临界值，确定分类标准；
　　（4）画出每种情形下的图形，结合题中相关条件解题实战分析。
　　动点几何问题经典问题剖析
　　例1．（2020·河北模拟）如图所示，四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，作DE⊥DC，交BC的延长线于点E．现将△CDE沿CB的方向平移，得到△C₁D₁E₁，设△C₁D₁E₁，与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）面积为y，平移距离为x，则y与x的函数图象为（ ）
　　【解答】：如图，
　　①当0＜x＜1时，DE⊥DC，∴∠EDC＝90°，
　　∵四边形ABCD是菱形，BC＝1，且∠B＝60°，
　　∴∠B＝∠DCE＝60°，∴∠E＝30°，
　　反思：本题通过分析动点的运动轨迹，找到＂起点、拐点和终点＂，并求出相对应的时间临界值，进而进行分析；在不同时间范围内，通过设未知，将面积进行表示，最终确定函数或者面积的变化率。本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点的运动过程表示阴影部分面积．
　　2．（2019秋·南山区期末）如图①，在正方形ABCD中，点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．设点P出发x秒时，△PAQ的面积为ycm2，y与x的函数图象如图②，则下列四个结论，其中正确的有（ ）
　　①当点P移动到点A时，点Q移动到点C；
　　②正方形边长为6cm；
　　③当AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值；
　　④线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝﹣3x+18。
　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　【解答】：①∵点P沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，
　　同时点Q沿边AB，BC从点A开始向点C以2cm/s的速度移动，当点P移动到点A时，P、Q同时停止移动．当点P移动到点A时，点Q移动到点C．所以①正确；
　　②根据函数图象可知：
　　当AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值正方形边长为6cm
　　当2AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值为9，
　　设正方形的边长为a，
　　∵PD＝x，则AP＝a﹣x，AQ＝2x，
　　解得a＝±6（﹣6舍去）
　　所以正方形的边长为6cm，所以②正确；
　　③当2AP＝AQ时，△PAQ面积达到最大值，所以③错误；
　　④∵当x＝3时，y＝9，当x＝6，时，y＝0，代入y＝kx+b中，解得k＝﹣3，b＝18，所以线段EF所在的直线对应的函数关系式为y＝﹣3x+18．所以④正确．以正确的结论有3个．故选：C．
　　【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合两个图形的关系进行分析．
　　3．（2019·贵阳中考题）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是________．
　　【解答】：E的运动路径是线段EE＂的长；
　　∵AB＝4，∠DCA＝30°，∴BC＝4√3/3，
　　当F与A点重合时，在Rt△ADE＂中，AD＝4√3/3，∠DAE＂＝30°，∠ADE＂＝60°，
　　∴DE＂＝2√3/3，∠CDE＂＝30°，
　　当F与C重合时，∠EDC＝60°，∴∠EDE＂＝90°，∠DEE＂＝30°，
　　在Rt△DEE＂中，EE＂＝4√3/3；故答案为4√3/3．
　　反思：本题考查的是动点产生点的路径问题，一般有两大分析思路，一种是几何分析法，通过角度转化，得到一个特殊角，进而确定点E的运动轨迹为线段；第二种则是函数法，可以通过构建平面直角坐标系，求出点E的坐标，进而达到求解点E的运动轨迹及长度问题
　　4．（2018·舟山中考题）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，点E在CD上，DE＝1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是_______．
　　【解析】：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，
　　∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，
　　①当AF＝0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；
　　②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，
　　此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，
　　解法一：当⊙O与BC相切时，如图6，连接OP，EP，PF，此时构成三个直角三角形，
　　∵EC∥OP∥BF，EO＝OF，∴PC＝BP＝1，
　　∵DE＝1，CD＝4，∴CE＝3，
　　∵∠ECP＝∠EPF＝∠B＝90°，
　　∴∠EPC＝∠BFP，∴△ECP∽△PBF，
　　∴EC/CP=PB/BF,，即3/1=1/BF，BF＝1/3，
　　∴AF＝4﹣1/3＝11/3；
　　解法二：当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，
　　则OP⊥BC，设AF＝x，则BF＝P1C＝4﹣x，EP1＝x﹣1，
　　∵OP∥EC，OE＝OF，
　　③当AF＝4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
　　综上所述，则AF的值是：0或1＜AF＜11/3或4．
　　故答案为：0或1＜AF＜11/3或4．
　　反思：通过问题中满足的点恰好有两个，使得三角形为直角三角形，可联想到圆周角为90°进行求解，因此通过构造以EF为直径的圆与BC、AD相切进行求解，并通过动点的运动路径，分析两个临界值是否满足，即可得到最终答案。
　　5．（2019秋·南昌期末）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．
　　（1）求C点的坐标；
　　（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
　　（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，求证m+n为定值，并求出其值．
　　【分析】（1）过C作CM⊥x轴于M点，由＂AAS＂证明△MAC≌△OBA，可得出CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，即可求点C坐标；
　　（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，可证四边形OEDQ是矩形，可得OE＝QD，DE＝OQ，即OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，由＂AAS＂可明△AOP≌△PDQ，可得AO＝PQ＝2，即可得结论；
　　（3）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，由＂AAS＂证明△FSH≌△FTG，可得GT＝HS，即可求得m+n的值．
　　【解答】：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1，
　　∵CM⊥OA，AC⊥AB，
　　∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°
　　则∠MAC＝∠OBA,易证△MAC≌△OBA（AAS）
　　∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，
　　∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）；
　　（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，
　　∵DQ⊥OP，DE⊥OE，∠POE＝90°∴四边形OEDQ是矩形，
　　∴OE＝QD，DE＝OQ，∴OP＝PQ+OQ＝DE+PQ，
　　∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，
　　∴∠QPD＝∠OAP，易证△AOP≌△PDQ（AAS），
　　∴QP＝AO＝2，∴OP﹣DE＝2；
　　（3）结论②是正确的，m+n＝﹣4，
　　理由如下：如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，
　　∴FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT，
　　易证△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，
　　又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2），
　　∴OT═OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n，
　　∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2，
　　∴﹣2﹣m＝n+2，∴m+n＝﹣4．
　　6．（2019·威海中考题）如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm²，E点的运动时间为x秒．
　　（1）求证：CE＝EF；
　　（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
　　（3）求△BEF面积的最大值．
　　【分析】（1）作辅助线，构建三角形全等，证明△AEM≌△EFN和△ADE≌△CDE（SAS），可得AE＝CE＝EF；
　　（2）分两种情况：根据三角形的面积公式可得y与x之间关系的函数表达式，根据勾股定理计算BD的长可得x的取值；
　　（3）根据（2）中的两种情况，分别利用配方法和二次函数的增减性可得结论．
　　【解答】（1）证明：如图1，过E作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，
　　∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB⊥AD，
　　∴MN⊥AD，MN⊥BC，∴∠AME＝∠FNE＝90°＝∠NFE+∠FEN，
　　∵AE⊥EF，∴∠AEF＝∠AEM+∠FEN＝90°，∴∠AEM＝∠NFE，
　　∵∠DBC＝45°，∠BNE＝90°，∴BN＝EN＝AM，
　　∴△AEM≌△EFN（AAS），∴AE＝EF，
　　∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，
　　∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE（SAS），
　　∴AE＝CE，∴CE＝EF；
　　（2）解：在Rt△BCD中，由勾股定理得：
　　解题总结与反思：
　　解压轴题，尤其是动态问题，首先要养成勤画图、多画图、画好图的意识，借助数轴将关键时间点一次罗列，以时间为依据，确定分类标准；
　　处理动点问题，要养成以下解题好习惯：
　　（1）画图意识：既然要分类，那就多画图，一类对一图，准备好铅笔、刻度尺、圆规等画图工具，画出草图，精准分析，找到隐藏的等量关系，列方程求解；
　　（2）标图习惯意识：几何学习，要养成清晰标图的习惯，准备好黑色水笔、圆珠笔、红笔等，将题目中相等的角标记为同一种符号或者同一颜色等，这样有利于分析问题，便于找到突破口。
　　（3）简化处理意识：要善于对图形作＂减法＂或＂简化＂处理，慧眼识珠，在复杂图中敏锐地捕提到所需结构，撇开干扰线条，画出核心图形，另行处理分析，这样有利于基本图形识别与构造，提高分析问题、解决问题的本领；
　　（4）确定分析意识：平时审题时，要带有确定性思想去分析问题，树立＂确定的必可求＂意识，尤其是解三角形的能力与意识，甚至于眼中无变量，将时间t视为常数，真可谓＂心中常怀确定性，审题解题部给力＂。