尼科尔森微观经济理论基本原理与扩展课后习题

　　第一部分 课后习题
　　第1篇 引 言
　　第1章 经济模型
　　本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
　　第2章 最优化的数学表达
　　1．假设
　　。
　　（1）计算偏导数
　　，
　　。
　　（2）求出上述偏导数在
　　，
　　处的值。
　　（3）写出
　　的全微分。
　　（4）计算
　　时
　　的值——这意味着当
　　保持不变时，
　　与
　　的替代关系是什么？
　　（5）验证：当
　　，
　　时，
　　。
　　（6）当保持
　　时，且偏离
　　，
　　时，
　　和
　　的变化率是多少？
　　（7）更一般的，当
　　时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？
　　解：（1）对于函数
　　，其关于
　　和
　　的偏导数分别为：
　　，
　　（2）当
　　，
　　时，（1）中的偏微分值分别为：
　　，
　　（3）
　　的全微分为：
　　（4）当
　　时，由（3）可知：
　　，从而可以解得：
　　。
　　（5）将
　　，
　　代入
　　的表达式，可得：
　　。
　　（6）由（4）可得，在
　　，
　　处，当保持
　　不变，即
　　时，有：
　　（7）当
　　时，该函数变为：
　　，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。由（4）可知，该等高线在（
　　，
　　）处的斜率为：
　　。
　　2．假定公司的总收益取决于产量（
　　），即总收益函数为：
　　；
　　总成本也取决于产量（
　　）：
　　。
　　（1）为了使利润（
　　）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？
　　（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
　　（3）此处求得的解满足＂边际收益等于边际成本＂的准则吗？请加以解释。
　　解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：
　　利润最大化的一阶条件为：
　　从而可以解得利润最大化的产量为：
　　；
　　相应的最大化的利润为：
　　。
　　（2）在
　　处，利润最大化的二阶条件为：
　　，因而满足利润最大化的二阶条件。
　　（3）在
　　处，边际收益为：
　　；
　　边际成本为：
　　；
　　因而有
　　，即＂边际收益等于边际成本＂准则满足。
　　3．假设
　　。如果
　　与
　　的和是1，求此约束下
　　的最大值。利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
　　解：（1）代入消元法
　　由
　　可得：
　　，将其代入
　　可得：
　　。
　　从而有：
　　，可以解得：
　　。从而
　　，
　　。
　　（2）拉格朗日乘数法
　　的最大值问题为：
　　构造拉格朗日函数为：
　　一阶条件为：
　　从而可以解得：
　　，因而有：
　　。
　　4．对偶函数为：
　　利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。
　　解：设最小化问题的拉格朗日函数为：
　　一阶条件为：
　　从而有：
　　，
　　，从而可以解得：
　　。