函数性质大解剖

　　第一部分 函数性质总论
　　一、函数关系新论
　　1函数涉及的数学量：自变量（通常以x表示）、因变量（通常以y表示）、参数（通常以a等表示）
　　2函数关系的互换性
　　⑴ x与y调换：
　　在一一对应情况下，与原函数互为反函数。关于y=x线对称。
　　⑵ x与a调换：
　　在只有一个参数a，且x定义域为实数集时，可将a视为自变量，建立新函数，x作为新参数。a取值范围化作y=f(a)函数的定义域求解。此法可用来解决相当一类参数取值范围问题。
　　3恒正式的概念
　　所谓恒正式是恒大于等于0的式子，它们的体现方式如下：
　　ⅰ 完全平方式 ⅱ 平方根式 ⅲ 绝对值式 ⅳ 指数式 ⅴ 题设条件。
　　实际解题中通过适当的配方可以得到恒正式，以上体现方式可以并存。
　　4 恒正多项式。由多个恒正式组成的多项式
　　（1）恒正多项式之和必然恒大于等于0。用于判定单调性
　　（2）恒正多项式之和等于0时，必然每个多项式为0。用于求零点
　　（3）部分使用时可用于求极值。
　　二、函数性质分类
　　1有界性：定义域、值域、取值范围
　　2判断性：单调性、奇偶性、对称性
　　3存在性：特殊值
　　4可重复性 周期性。因为周期性比较特殊，不易纳入本体系，故本文不研究周期性。
　　三、函数各类别含义及关系
　　1 有界性：任何函数理论上都是一个平面图像，无论人们是否可以画出，它是客观存在的，而这个平面图像一定是有边界的，定义域和值域就共同构成函数或函数图像的边界。这两者决定了研究目标所必须在的范围。具体体现有以下几个特点：
　　ⅰ 形成不可逾越的总边界，一切研究都要在边界内进行，反映在解题中，要时刻验证这一点。
　　ⅱ 作为各种不同内部性质之间的边界，称为子边界，子边界必在总边界之内，且子边界內恒有某种内部性质。
　　ⅲ 边界的形成有三个渠道：一是自然的要求，即使式子有意义，如分母不为0，此部分对应于特定表达式；二是人为的要求，如题设x>0，对应于题目表述；三是导出的形成，即前述的子边界。实际解题时一定要3方面都考虑到，才不至于遗漏。
　　ⅳ 边界的数学表现形式有：（1）集合（2）区间（3）不等式（4）图像
　　2判断性：边界内部某个区域图像所具有的规律，它有以下特点：
　　ⅰ它们是在总边界内部，即必然限定在总的边界之内。
　　ⅱ它们都是点与点的函数值的关系，判断的依据都是函数值f(x),而且是特殊关系。
　　ⅲ这些内部性质只适合于相应的子边界，一旦超出，则不能成立。
　　ⅳ某些时候，函数整体都遵循同一规律，这时只要受总边界限制
　　3存在性：在有界的平面图像内，可能存在一些比较特殊的点，类似于城市中的标志性建筑。也起到指引地标的作用。之所以称其为存在性性质，是因为首先要判断它是否存在，其次如果存在，它在哪个位置，即点坐标。在子边界中，特殊点必与内部性质发生关系，可研究各种内部性质的特殊点情况。
　　第二部分 各类性质分析
　　第一类 定义域、值域、子边界
　　1说明：定义域是自变量的边界，值域是函数值的边界。
　　2地位：两者共同构成边界，是内部性质研究和特殊点研究的基础和限制。
　　3判定方法：依据边界的三个形成渠道
　　4内部关系：通过函数对应关系相互制约，当互为反函数时，定义域、值域对换。
　　5表现方式：虽然边界有多种表现形式，但此处一般用区间。
　　6域宽：衡量域大小的量，是两个边界之间的距离，形式是x2-x1、y2-y1
　　7规定：为叙述方便，定义域、值域指总边界，子边界用相应的区间描述。
　　第二类 判断性
　　一、单调性
　　1 定义：子边界满足的关于大小变化的一个内部性质。
　　2 含义：子边界内，函数值大小只有一种变化规律，要么增大要么减小。由于大小排序分
　　正序和倒序两种形式，结果可能会不同，因此一定要注意是随着自变量值增大来排序。
　　3 判断：分两个层面
　　第一个层面：是否只有一种变化，即是否具有单调性。
　　第二个层面：在上述基础上，确定是单调增还是单调减。
　　4 单调区间：单调性是局部性质，是由子边界限制，要阐述单调性，必须指明单调区间，它容许定义域内其它非单调性的存在，只要我们把它分离开即可。理论上讲，任意一个函数，总能有一些单调区间，只不过是不是我们需要的罢了。
　　5 实际中的单调性判定
　　ⅰ 定义法：作差法。适用于一些较易配方尤其是二次函数。
　　ⅱ 图像法：曲线只有一种发展趋势，左低右高为单调增，反之为单调减。适合于已经有图像的或易画出图像的。
　　ⅲ 利用基本初等函数，通过一些结论，得出单调性。
　　6 一些单调性的结论（以基本函数举例,以f(x)表示原基本函数）
　　① 分式：在分式有意义的情况下，单调性反向。
　　② 根式：在根式有意义的情况下，单调性不变。
　　③ 关于式子意义的问题，其实不用记，只要定义域考虑了三种渠道，就不会错误。
　　④ 反函数：单调性不变
　　⑤ f(x)+c(常数)：相当于图像平移，单调性不变。
　　⑥ kf(x): k>0，单调性不变，k<0，相当于正数和负数对换，单调性反向。
　　⑦ 复合函数：复合的多个层级的函数若都具有单调性，则复合函数具有单调性。至于方向书上说同增异减。实际上，将增、减分别类比为正负，其规则与乘法的符号法则完全相同。
　　⑧ 相加：必须是同性函数，即都为增，或都为减，结果不变。
　　⑨ 相乘：必须是同性函数，两者都恒大于0，单调性不变；两者都恒小于0，单调性反向
　　⑩ 常用的单调增函数：一次函数、指数函数、幂函数、对数函数
　　二、对称性
　　1 实质：以第三方作为中介，反映两个函数的平衡关系。这个中介可以是对称点（点）也可以是对称轴（线）
　　2 对称形式
　　ⅰ 轴对称 函数图像沿一直线对折，图像能够完全重叠。这条直线称为对称轴。
　　ⅱ 中心对称 函数图像沿一个点旋转180度，图像能完全重叠。这个点称为中心点
　　3 对称轴可以是任意一条直线，以方程形式体现，中心点一般为坐标原点。
　　4 利用对称性质可以推出另一半图像
　　常用函数对称轴
　　⑴ 常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
　　⑵ 一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
　　⑶ 二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。
　　⑷ 反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。
　　⑸ 指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
　　⑹ 对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
　　⑺ 幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。
　　⑻ 正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
　　⑼ 正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
　　⑽ 余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，（kπ+π/2，0）是它的对称中心。
　　⑾ 正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中（kπ/2，0）是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。
　　⑿ 对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴，例如在处理函数y=x+1/x时误以为会有f0.5)=f(1.5)，我在教学时总是问学生：你可看见过老师将＂√＂两边画得一样齐？学生们立刻明白并记忆深刻。
　　⒀ 三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。
　　⒁ 绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。
　　三、奇偶性
　　1 实质：反映函数正负转换，为单调性变向提供依据。
　　2 定义：奇函数：-f(x)= f(-x) 或f(x)=-f(-x) 后者只需变动一项，建议记后者。
　　偶函数：f(x)=f(-x)
　　由上可以看出，奇点和偶点的位置关于x轴对称，但除非在原点，否则不同时出现。
　　3 表现形式：ⅰ奇函数，ⅱ 偶函数 ⅲ 非奇非偶ⅳ 既奇既偶。
　　4 判定方法：奇函数：f(x)+f(-x)=0 图像中关于原点对称
　　偶函数f(x)-f(-x)=0，图像中关于y轴对称。
　　5 几个结论
　　ⅰ 奇函数必过圆点f(0)=0
　　ⅱf(x)与k f(x) 奇偶性相同
　　ⅲ f(x)与1/ f(x) 奇偶性相同
　　ⅳ f(x)=0既奇既偶，但似乎没有什么使用价值，知道一下就行了。
　　ⅴ 复合函数奇偶性：书上的不好记，其实只要有一个是偶函数，另一个不是非奇非偶，结果就一定是偶函数。否则就都为奇函数，结果也为奇函数。
　　四、三个性质之间的关系
　　1 奇偶性与对称性的关系
　　ⅰ 奇函数是一种关于原点的中心对称。偶函数是关于y轴的轴对称。它们具有互证关系。
　　ⅱ 奇偶性虽然与对称性实质相同，但研究角度不同。对称性是两个函数分别与对称轴或中心点的关系，使用了中间媒介，而奇偶性是两个函数直接的联系。当然是由于中间媒介的特殊性导出的。
　　ⅲ 对称性是特殊到一般，图像从点、线到面，即点与点之间的对称、线与线之间的对称，面与面之间的对称，几种形式都存在，组成图像的所有点线面都对称，则整个函数具有了对称性。单独的点与点之间的对称称为局部对称。对称性允许局部对称。
　　奇偶性是从一般到特殊，它首先要求函数必须全部满足对称，根据其对称规则或称配
　　对原则，建立每两点之间的关系。不允许局部对称。
　　局部对称属于对称性，虽不满足奇偶性，但如果是与原点或y轴相关，完全可以参照
　　函数值关系，注意只适合这两个点。
　　2 奇偶性与单调性的关系
　　ⅰ 奇函数有相同的单调性。
　　ⅱ 偶函数有相反的单调性。
　　3 对称性与单调性的关系
　　无直接联系。
　　第三类 特殊值
　　一、定点
　　1 含义：在一个函数关系中，无论参数在取值范围内如何变化，都必须经过同一个点。
　　2 求法：首先根据基本函数性质和题设确定定点的存在性。然后因为要求恒成立，只要把参数设成特殊值，就可以求出定点坐标。
　　3 作用：定点是参数变化中的函数之间的唯一联系，是函数变化围绕的中心点，利用定点可以确定参数取值范围。
　　4 所有指数函数过定点（0,1），所有对数函数过定点（1,0）
　　二、零点
　　1 含义：y=0的点、图像中是x轴上的点。延伸含义：方程的解
　　2 求法：根据图像法判断有无零点以及个数，即存在性判断。其次再用解方程求出坐标值。尤其要使用恒正多项式。
　　3 作用：求不等式解集、判断方程解的有无与个数。
　　三、最大值、最小值
　　1 含义 函数值在某个区间内的最大值、最小值
　　2 求法 ⅰ 利用单调性 ⅱ 利用导数
　　3 作用 解决各类最值问题
　　四、交点
　　1 含义 指两个以上函数，它们某点x、y均相等，这个点在图像中是个交汇点。
　　2 求法 根据图像法判断有无交点及交点个数，解联立方程组。
　　3 作用 解决同时满足两个条件的问题。
　　五、四个点的关系
　　1定点与交点。
　　定点相当于参数变化的函数共同的交点，如果给出两个位置状态，同样可以使用交点解
　　方程的方法求定点坐标。
　　2 零点与交点
　　零点是函数与x轴的交点，即函数与y=0函数的交点。
　　3 零点与定点
　　有时候定点就是零点，如对数函数的定点。
　　4 以上三点对最值的影响
　　往往是最值的转折点。
　　第三部分 各部分之间性质关系
　　一、定义域、值域对判断型性质的影响。
　　1 总边界的影响：
　　所有判断型性质必须在函数总的定义域和值域划定的范围中。一般前期是定义域，后期
　　用值域检验。
　　2 子边界的影响——区间
　　（1）奇偶性
　　前面说过，奇偶性是从一般到特殊，它必须建立在所有点都具备此性质的基础上，因此它具有全域性，即在定义域范围来判定。各子边界必然遵循全域的性质。此性质在函数中具有统一性，不存在奇偶区间的说法。但有时为了研究的需要，人为划出一个区间，以与研究目标匹配，相当于选取一段具体的图像，由于两者有关系，选取时要平衡选取。类比按比例放大图像，如果只延长一条边，形状肯定发生变化。根据前面所说，奇点和偶点关于x对称，对应的x值都为-x，要使新区间每个点都满足，则要求定义域对称，即（-a，a）。此结论不能用来判定奇偶性，但可以检验区间划分的合理性。
　　（2） 对称性
　　理论上讲，如果没有任何限制，任何图像都可以找到轴对称和中心对称关系，只是当我们用边界加以限制时，这种对称关系是否落在范围之内就是问题。对称性因为允许局部对称，并支持分段研究，区间划分非常灵活，一般某一段图像是对称的，就把它截取出来，这段曲线对应的x、y值取值范围应该称为对称区间。对称区间虽然客观上是存在的，但区间值实际意义并不大，只起限定研究范围的作用。一般无需讨论对称区间。
　　（3） 单调性
　　单调性与对称性相似，都属于局部性质。即都有自己的区间。但单调区间值非常重要，它要参与求最值。应该说单调性就是为求最值而生的，它通过函数的顶点和单调区间得出最值。因此一般描述单调性的同时要注明单调区间。
　　二、定义域、值域对特殊点的影响
　　1 定点：如果有定点，其x值必在定义域、值域内。
　　2 零点、交点：需要判断在定义域内是否存在。
　　3 最值：有影响的主要是值域，最值不能超过值域。
　　三、最值的解法
　　1 函数顶点（对于全域函数）
　　图像自然的顶点、单调性改变的点（图示法）；解函数式得到的最值（配方法）、
　　2 单调区间（对于局域函数）
　　对二次函数，建议采用配方法，对非二次函数，推荐使用导数法
　　注：最值点必须是能取到的点，开区间没有最值。