中考专题鸡爪模型构造手拉手旋转

　　注：以下本文授权转改自微信公众号＂广州新东方优能中学＂.
　　模型提出
　　我们知道在直角三角形ABC中，若∠C=90°，则有c²=a²+b²，这里符合勾股定理公式的前提是：三条线段在一个直角三角形中。大家有没有遇到这样的题呢？比如：
　　如图，点P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求证PA²+PB²=PC²
　　或者再比如：
　　如图，点P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求证PB²=PA²+PC²
　　三条线段并不在一个直角三角形中，怎么证勾股关系呢？
　　我们观察发现三条线段不是随意的，而是共顶点的。往往是这样：
　　或者这样
　　哈哈，是不是长得很像？
　　三脚架？
　　V.S.
　　是不是也很像我们爱吃的鸡爪呢？
　　于是我们常常把这样一个顶点引出的三条线段叫做＂鸡爪型＂线段。
　　解法探究
　　接下来问题来了，怎样解决三条线段不在同一直角三角形的问题？
　　那当然是要对线段进行位置变换了。
　　我们初中阶段一共是有三种位置变换：平移、旋转、翻折（对称）。
　　这里我们用的是旋转思想。
　　平移和对称我们已经学过，旋转在初中是放在九年级上册（第23章）的，但我们小学和初中教材的编排是螺旋式的深入的，其实旋转在小学就有学过，包括旋转的三个要素：绕哪转（旋转中心），顺时针转还是逆时针转（旋转方向），转多少度（旋转角）。
　　初二上我们其实接触过一类旋转式的全等：
　　哈哈，记起来了吗？这不就是我们前文讲过的手拉手模型吗？它们的全等都叫旋转式全等。关于手拉手模型可看以下文章：
　　【中考专题】手拉手模型（一）—等腰旋转，全等出现
　　【中考专题】手拉手模型（二）—旋缩变换，相似成双
　　特征是：两个顶角相等的等腰三角形共点旋转
　　核心是：①两组相等的线段（两组手）、②两组手的夹角一样
　　全等类手拉手模型，简图如下：
　　那么如果我们给出三条手，你能画出第四条吗？
　　①找两条大手（红色的）及大手的夹角，
　　②利用大手的夹角就是小手的夹角确定第四条手；
　　所以大家画的是不是这样：
　　或者
　　实战中我们往往是两步：先找到前两条手（等腰的两腰），再找第三条手，根据夹角相等的原则画第四条手。
　　实战应用
　　我们来看一下如何应用吧！
　　例1:
　　如图，点P在正三角形ABC中，∠APB=150°，求证PA²+PB²=PC².
　　PA，PB，PC，确认过眼神，这是我们要找的鸡爪型
　　来吧：
　　Step1：找顶点，找两腰(就是找等腰三角形啦)
　　本题A、B、C都可以当等腰的顶点，这里举例A作顶点，则两腰为AB和AC
　　Step2：找第三条手画第四条手
　　我们知道四条手是共点的，那自然AP就是我们的第三条手，再按照我们上面的方法就可以画出第四条手
　　当然这里往左边也可以啦
　　Step3：大拉小(连DC)，连等腰（连PD）
　　书面作答描述：
　　解：将△ABP饶点A逆时针方向旋转60°至三角型ACD位置，
　　则△ABP≌△△ADC，
　　则∠BAP=∠CAD，PA=DA，DC=PB
　　∠PAC+∠CAD=∠BAP+∠PAC=60°
　　∴△APD为等边三角形
　　∴PA=PD
　　∠PDC=∠ADC-∠ADP=150°-60°=90°
　　即三角形PDC为直角三角形（核心所在！）
　　∴PD²+CD²=PC²
　　即PA²+PB²=PC².
　　怎么样，方法是不是很炫酷呢？
　　当然我们说过，这题A、B、C都可以当顶点，而且可以左旋可以右旋，所以这题一共有六种旋转方法，学霸们可以都试一下的~
　　总结一下：
　　在识别出我们的鸡爪图后，我们三步法
　　1、找顶点、找两腰
　　2、找第三条手，画第四条手
　　3、大拉小，连等腰
　　最最最最重要的，连完后往往还会有直角三角形出现，也就出现了我们的勾股关系；
　　来道变式检测大家是否掌握完全。
　　变式1:
　　如图，点P在正三角形ABC外，∠APC=30°，求证：PB²=PA²+PC².
　　先识别：PB，PA，PC共顶点的三条线段，就是鸡爪，接下来就三步走啦！
　　这里过程就不详写啦，和前面那题差不多，可以证∠DPC=90°；
　　DP²+PC²=DC²，即PA²+PC²=PB².
　　变式2
　　如图，点P在等腰直角三角形ABC中， ∠APB=135°，求证2PA²+PB²=PC².
　　思考：结论和之前有何不同？为什么会多一个2，不妨先变换线段位置再看看吧！
　　确认过眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法
　　注意：
　　这题有些不一样：PD²=PA²+DA²，PB²=DC²，∠PDC=∠ADC-∠ADP=135°-45°=90°
　　∴PD²+CD²=PC²
　　即2PA²+PB²=PC²
　　变式3
　　如右图，点P在等腰直角三角形ABC外， ∠APC=45°，求证2PA²+PC²=PB².
　　思考一下哦！
　　确认过眼神，你就是我要找的爪~，看我的三步法
　　变式4
　　如右图，点P在等腰直角三角形ABC斜边BC上，求证2PA²=PC²+PB².
　　过程还是基本同上哦，这里就不细写啦！
　　最后留一道广州中考题给大家思考啦
　　真题实战
　　（2018年广州中考·25）(本小题满分14分)
　　如图12，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.
　　(2)连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；
　　思考片刻，先不要往下看哦~
　　思考中
　　……
　　我们来对一下答案吧
　　和我们变式1是不是一样一样呢？
　　另外，2016年广州中考最后一题最后一问也是可以用我们的三步法秒杀的，这里杨老师就先不展开了
　　末尾，我们再总结一下今日所学：
　　【模型特征】：鸡爪型
　　【操作三部曲】：
　　找顶点，找两腰
　　找第三条手，画第四条手
　　大拉小，连等腰
　　【核心结论】：
　　连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。