几何中的最大值问题
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几何最大值综述
几何中的最值问题一直是中考考察的热点和难点问题。最值主要分最大值问题和最小值问题两种。今天我们主要讨论几何中的最大值问题。目的就是为了寻找几何最大值的数学模型和理论依据，提升我们解决问题的能力。
例题1
已知边长为2的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC的长的最大值是____．
分析:
1.如何求线段OC的最大值？
2.解决OC最大值的数学模型是什么？
3.OC最大值的理论依据是什么？
4.数学模型为：在图形中找到第三个点D,使得CD=定值，OD=定值。则OC的最大值即为CD+OD
5.理论依据是:①当点O,C,D三点不共线时，由三角形三边关系可知OC<CD+OD.②当点O,C,D三点共线时OC=CD+OD.综上所述：OC≤DC+OD
答案为：√(3)+1
请仔细观察动态图中OC在何时取到最大值，帮助自己理解上述理论叙述。
例题2
如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为_____
分析：
1.如何求线段OD的最大值？
2.解决OD最大值的数学模型是什么？
3.OD最大值的理论依据是什么？
4.数学模型为：在图形中找到第三个点E,使得ED=定值，OE=定值。则OD的最大值即为ED+OE
5.理论依据是:①当点O,E,D三点不共线时，由三角形三边关系可知OD<ED+OE.②当点O,E,D三点共线时OD=ED+OE.综上所述：OD≤DE+OE
答案为：√(2)+1
请仔细观察动态图中OC在何时取到最大值
例题3
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC′，连接BC′，E为BC′的中点，连接CE，则CE的最大值为______
分析：
1.第三个点选择谁？ 2.选择AB的中点D.
3.CE的最大值为CF+EF=√(2)+1
请仔细观察动态图中OC在何时取到最大值
例题4（2016河南中考压轴题）
（1）发现：
如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示）
分析：
1.结论很简单，也很容易理解，但是思维不要局限在表面，要进行深度思维。
2.当点A位于CB的延长线上时，AC取得最大值a+b.
3.当点A在线段CB上时，AC取得最小值|a-b|.
4.综上所述:|a-b|≤AC≤a+b
5.最大值数学模型：在一个三角形中，两条边为定值，则第三边的最大值就是两边之和，最小值就是两边只差。（简称三角不等式最值模型）
6.理论依据：三角形三边关系不等式。
7.深度思维：点B为定点,点A为动点，BA长为定值=b,使用动态思维：动点A在以点B为圆心，以BA=b为半径的圆周上运动，动态图如下：
使用这种辅助圆来理解和解决最值问题是相当好的一种思维习惯和解题方法。请同学务必掌握。
（2）应用：
点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段BE长的最大值．
分析：
1.典型的拉手模型，△DAC≌△BAE(SAS).则BE=CD.
2.如何求解线段BE的最大值？是否有三角不等式最值模型存在？
3.请观察右下图，△ABE和△BCE都不满足最大值模型中的两定边为定值的要求。如何才能构造出满足条件的最大值模型呢？
4.观察左下图以AB为边向外构造等边△ABD,得到拉手模型，则BE=CD.在△DBC中满足最大值模型，故CD最大值为：1+3=4(也可以把△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△ADC)
（3）拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
分析:
2.如何求解线段AM的最大值？是否有三角不等式最值模型存在？
3.请观察下图，△APM和△ABM都不满足最大值模型中的两定边为定值的要求。如何才能构造出满足条件的最大值模型呢？
4.观察右下图:
(1)连接MB，得到等腰直角△PMB.
(2)以AP为边向外构造等腰直角△APM＂,得到等腰直角三角形构造拉手模型，则AM=M＂B. 在△ABM＂中满足最大值模型，当点M＂在BA的延长线上时，AM=BM＂最大值为：2√(2)+3，（如图4）
(3)(也可以把△PAM绕点P顺时针旋转960°得到△AM＂B直接构造拉手全等)
（5）△PAM＂是等腰直角三角形，AM＂=2√(2),AB=3. 则在AM取到最大值时，点P横坐标为：2-√(2)，纵坐标为:√(2).
(6)为了更加直观了解AM的长度变化情况，请看动态图：
考点小结：
1.以被求线段为边找第三个点，构造最大值模型（两定边）
2.如果找不到第三个点，则考虑旋转法或者直接构造拉手模型的方法来构建最大值模型。
3.注意使用动态的思维方式。