如何求等差数列之和
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在本文中：评估数列计算总和完成例题参考
等差数列是每一项与它的前一项的差等于一个常数的数列。如果要求等差数列之和，你可以将所有数字手动相加。但是，当数列包含大量数字时，就无法使用这种方法了。这时，你可以使用另一种方法，即用数列首项和末项的平均数乘以数列项数，从而快速算出任何等差数列之和。
部分
1:评估数列
1:确定数列是等差数列。等差数列是一组有规律的数字，其中各数字的增量是一个常数。本文所述方法仅适用于等差数列。
要确定数列是否是等差数列，你可以计算前面几个数字之间的差值和最后几个数字之间的差值。等差数列的差值应始终相等。
例如，数列10, 15, 20, 25, 30是一个等差数列，因为各项之间的差值等于常数(5)。
2:确定数列的项数。每个数字构成一项。如果数列只包含列出的几个数字，你可以数一数共有多少项。否则，在知道首项、末项，以及被称为公差的各项之差的情况下，你可以使用公式来算出项数。我们可以使用变量
{\displaystyle n}
来代表这个数字。
例如，如果你要计算数列10, 15, 20, 25, 30之和，则
{\displaystyle n=5}
，因为数列共有5项。
3:确定数列的首项和末项。要计算等差数列之和，你必须知道这两个数字。第一个数字常常为1，但也并不一定。我们可以设变量
{\displaystyle a_{1}}
等于数列首项，变量
{\displaystyle a_{n}}
等于数列末项。
例如，在数列10, 15, 20, 25, 30中，
{\displaystyle a_{1}=10}
，而
{\displaystyle a_{n}=30}
。
部分
2:计算总和
1:列出计算等差数列之和的公式。公式为
{\displaystyle S_{n}=n({\frac {a_{1}+a_{n}}{2}})}
，其中
{\displaystyle S_{n}}
等于数列之和。
注意，此公式表明等差数列之和等于首项和末项的平均数乘以项数。
2:将变量
n{\displaystyle n}
、
a1{\displaystyle a_{1}}
和
an{\displaystyle a_{n}}
代入公式中。确保代入步骤正确。
例如，如果数列有5项，首项为10，末项为30，则代入后公式变成：
{\displaystyle S_{n}=5({\frac {10+30}{2}})}
。
3:计算首项和末项的平均数。将两个数字相加，然后除以2。
例如：
{\displaystyle S_{n}=5({\frac {40}{2}})}
{\displaystyle S_{n}=5(20)}
4:用平均数乘以数列的项数。这样就算出了等差数列之和。
例如：
{\displaystyle S_{n}=5(20)}
{\displaystyle S_{n}=100}
因此，数列10, 15, 20, 25, 30之和等于100。
部分
3:完成例题
1:计算1到500之间所有数字之和。考虑所有的连续整数。
确定数列的项数
{\displaystyle n}
。由于需要考虑500以内的所有连续整数，因此
{\displaystyle n=500}
。
确定数列的首项
{\displaystyle a_{1}}
和末项
{\displaystyle a_{n}}
。由于数列是从1到500，所以
{\displaystyle a_{1}=1}
，而
{\displaystyle a_{n}=500}
。
计算
{\displaystyle a_{1}}
和
{\displaystyle a_{n}}
的平均数：
{\displaystyle {\frac {1+500}{2}}=250.5}
。
用平均数乘以
{\displaystyle n}
：
{\displaystyle 250.5\times 500=125,250}
。
2:求下述等差数列之和。数列的首项为3。数列的末项为24。公差为7。
确定数列的项数
{\displaystyle n}
。由于数列的第一项为3，最后一项为24，而每一项比前一项大7，所以这个数列是3, 10, 17, 24。以上推论是根据公差的定义得出，公差即数列中各项与前一项之差。这意味着
{\displaystyle n=4}
确定数列的首项
{\displaystyle a_{1}}
和末项
{\displaystyle a_{n}}
。由于数列是从3到24，所以
{\displaystyle a_{1}=3}
，而
{\displaystyle a_{n}=24}
。
计算
{\displaystyle a_{1}}
和
{\displaystyle a_{n}}
的平均数：
{\displaystyle {\frac {3+24}{2}}=13.5}
。
用平均数乘以
{\displaystyle n}
：
{\displaystyle 13.5\times 4=54}
。
3:解以下问题。陈静在一年的第一周存了5元钱。在这一年中剩下的时间里，她每周会比前一周多存5元钱。年末时，陈静共存了多少钱？
确定数列的项数
{\displaystyle n}
。由于陈静存了1年，而1年有52周，所以
{\displaystyle n=52}
。
确定数列的首项
{\displaystyle a_{1}}
和末项
{\displaystyle a_{n}}
。她存的第一笔钱金额为5元，所以
{\displaystyle a_{1}=5}
。她在这一年最后一周存的金额可以计算得出，
{\displaystyle 5\times 52=260}
。因此，
{\displaystyle a_{n}=260}
。
计算
{\displaystyle a_{1}}
和
{\displaystyle a_{n}}
的平均数：
{\displaystyle {\frac {5+260}{2}}=132.5}
。
用平均数乘以
{\displaystyle n}
：
{\displaystyle 135.5\times 52=7,046}
。所以，她在年末时共存了7,046元。
参考
↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html
↑ https://www.khanacademy.org/math/calculus-home/series-calc/series-calculus/v/formula-for-arithmetic-series
↑ http://www.purplemath.com/modules/series4.htm
↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html