伦敦瘟疫时期的牛顿
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求学剑桥
▲ 剑河上的牛顿桥
1661 年，牛顿如愿以偿，成为剑桥大学三一学院的学生。牛顿如饥似渴，古希腊哲学家柏拉图、亚里士多德以及同时代哲学家和科学家笛卡儿、伽桑狄、霍布斯、波义耳、伽利略、开普勒等的著作如甘泉般滋润着他的心灵，为他提供丰富的思想养料，并促进他的独立思考。1664 年，他在自己撰写的题为《哲学的若干问题》的小册子中写道：＂柏拉图是我的朋友，亚里士多德亦是我的朋友，但我最好的朋友是真理！＂
刚进剑桥的时候，牛顿的数学知识少得可怜。大二时，他在剑桥大学附近的集市里买到一本有关占星术的书，但书中的数学内容使他如坠五里云雾。为此，他想从一本三角学著作开始学习数学，但由于缺少几何知识，他还是裹足不前。或许是在他的恩师、刚刚担任三一学院卢卡斯数学教授的巴罗先生的建议下，他开始阅读《几何原本》。从此，他逐渐走进数学世界。前辈数学家的著作为他学习和研究数学创造了良好的条件。1631 年，他的校友、国王学院毕业生奥特雷德出版《数学之钥》；1646 年，荷兰数学家舒腾编辑出版《韦达数学全集》；1649 年，舒腾又出版笛卡儿《几何学》的拉丁文版（1659 年再版）；1655 年，牛津大学萨维利几何学教授沃利斯出版《无穷算术》。
▲ 自然哲学之数学原理（1687）
牛顿不断从这些数学著作中获取灵感，有理数指数情形的二项式定理就是其中的典型一例。沃利斯在《无穷算术》中获得了一系列曲线
下的面积（在 [0,x] 上），它们分别为
我们今天有了二项式定理和定积分知识，很容易得到上述结果。但是，牛顿上大学以前，对正整数情形的二项式定理一无所知，虽然帕斯卡早在 1654 年就写好了《论算术三角形》，但该书的出版却是在帕斯卡去世之后的 1665 年。但观察沃利斯的结果，牛顿马上就发现了面积表达式中的规律（按照升幂的顺序）：
各项系数的符号交错出现；
各项系数的分母为奇数 1，3，5，7，…；
第二项系数的分子为等差数列 1，2，3，4，…；
各项系数的分子依次对应于为 11 的乘方的各位数，即对应于以下数表中每一行：1:1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
若第二项系数的分子为 n，则以后各项系数的分子分别为
牛顿马上将上述规律类比到以下曲线下的面积：
分别得到
牛顿又把上述规律类比到更多的曲线，如
在得到上述规律之后，牛顿马上得出原函数的无穷级数表达式：
一般地，牛顿得到
这样，牛顿在数学史上首次将二项式定理推广到一般有理数指数的情形。如果说帕斯卡为正整数指数幂情形下的二项式定理划上了句号，那么，牛顿则完全超越了他的前辈，书写了二项式定理的崭新篇章。牛顿二项式定理在数学上是如此重要、如此著名，以致在牛顿去世之后，有好事者猜测该定理会被刻在他的墓碑上（事实上并没有）。
伦敦瘟疫
▲ 丽塔 . 格雷尔油画＂大瘟疫 1665＂（2009）
1665 年 4 月，牛顿获得了学士学位。正当牛顿踌躇满志、继续向剑桥大学三一学院研究员的目标迈进之际，一百公里以外的伦敦爆发瘟疫的坏消息不断传来。瘟疫从伦敦城的外围迅速蔓延到了市中心，每周的死亡人数不断攀升。丹尼尔.笛福说得好：＂瘟疫像一场大火，如果起火的地方只有几座房屋受牵连，那就只会烧毁几座房屋；如果是在单幢房，或者按我们的叫法是在孤房里烧起来，那就只会烧毁那座起火的孤房：但如果是在一座建筑密集的市镇或城市里烧起来，到了紧急关头，火势越来越猛，那它就会在这整个地方蔓延开来，然后将所到之处吞噬殆尽！＂到夏天，疫情肆虐达到了顶峰，不仅使整座伦敦城笼罩在死亡的阴影中，而且对伦敦周围地区构成了巨大的威胁。关闭学校、返乡隔离的通知下达到了剑桥大学的每一个学院。
回到故乡
▲ 乌尔索普村牛顿家的房子（采自 E. F. 金《牛顿传略》）
牛顿收拾行囊，回到了故乡——林肯郡的乌尔索普村（今属格兰瑟姆市）。牛顿家的房子是他祖父于 1632 年购得，给生于斯长于斯的牛顿留下了许许多多童年和少年时代的回忆。母亲在第二次婚姻中给他增添了同母异父的一个弟弟和两个妹妹。十四岁时，继父（一位牧师）亡故，母亲带着三个孩子回到乌尔索普。彼时，牛顿在离家八英里的格兰瑟姆文法学校读书，但母亲却希望牛顿能够好好务农，承担持家重任，并不可思议地让他中途辍学！对农事了无兴趣的他，身上哪有一星半点的农夫基因？每到周末，母亲就让一位老仆人陪伴他去格兰瑟姆的市场上出售一些农作物，并购买一些生活必需品。但他压根儿就不适合做买卖。有时牛顿偷偷溜回学校宿舍，有时会蹲在篱笆边，忘我地看书。他还在一场暴风雨中，做了一次测量风力的实验。在叔父（曾经的剑桥高材生）的关心之下，他才回到格兰瑟姆的课堂，并以就读剑桥大学为目标。
避疫期间
▲ 昆丁·布雷克插画作品：苹果树下的牛顿（2009）
我们可以想象，避疫期间的牛顿，活动范围不会很大，和家人的交流也不会很多，基本上就在自己家里读书、静思、写作。大疫关闭了大学校园，却关闭不了牛顿的精神世界！
在避疫的两年时间里，牛顿在数学、光学和力学领域取得了重要突破。在微积分方面，牛顿于 1665 年构想了＂流数术＂。我们今天所说的函数，被牛顿称为＂流量＂（注意，不是我们今天所说的手机＂流量＂哦）；函数的导数，被牛顿称为＂流数＂。＂流数＂的概念似乎源于物理学中的速度概念——＂流量＂流动的速度就是＂流数＂。牛顿通过在表示＂流量＂的字母上方加一点来表示该流量的＂流数＂。假设＂流量＂是，则其＂流数＂为
显然，牛顿所求的＂流数＂就是我们今天所说的＂导数＂。牛顿将上述比成为＂初生量的初始比＂或＂消失量的终极比＂。由于牛顿没有严格的极限概念，所以上述求流数的方法并不严谨，以致日后受到贝克莱大主教的激烈批判。另外，由于返校后没有及时发表他的＂流数术＂，导致日后他与莱布尼茨之间无休止的微积分发明权之争。
构想了＂流数术＂之后，牛顿将它应用于求曲线的切线和曲率。我们相信，在乌尔索普老家，牛顿关于微积分的思考远远不止＂流数术＂，因为他同时也在思考：如何根据＂流数＂来求＂流量＂。在＂流数术＂的应用过程中，牛顿很可能还悟出，前辈数学家眼中风马牛不相及、需要采用不同技巧才能加以解决的求切线问题、求最大值和最小值问题，都可以统一采用同一种分析方法；求切线问题和求面积问题所需要的不过是互逆的两种运算而已。近两个世纪之后，在遥远的东方，中国数学家李善兰在学习微积分之后，不禁发出如下赞叹：
由是，一切曲线、曲线所函面、曲面、曲面所函体，昔之所谓无法者，今皆有法；一切八线求弧背、弧背求八线、真数求对数、对数求真数，昔之视为至难者，今皆至易。呜呼！算术至此观止矣，蔑以加矣！
微积分是数学史上最重要的发明，它使数学这门古老的学科插上了腾飞的翅膀，使其以前所未有的速度向前发展；同时，它为人类认识世界、解决不同知识领域中的难题提供了一把万能钥匙。微积分能够帮助我们更深刻地理解什么是＂积微成著＂，什么是＂水滴石穿＂，什么是＂失之毫厘，谬以千里＂，什么是＂一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴＂，什么是＂一沙一世界，一花一天堂，双手握无限，刹那是永恒＂。
如果把人的成就比作＂流量＂，那么他经过每一瞬间＂ο＂之后，这＂流量＂的增量与这个＂ο＂的比值，正刻画了人生的＂流数＂，即一个人进步的速度。
牛顿在乌尔索普的第二项重要发现是太阳光的分解。从亚里士多德时代开始人们就一直相信，太阳光是纯粹的单色光。1666 年，牛顿从附近集市上买来三棱镜，并进行光学实验——后来成了科学史上最著名的实验之一。通过暗室中的三棱镜实验，他惊奇地发现，太阳光被分解成了红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫七种不同颜色！我们完全可以想象，牛顿的书房不知不觉成了他实施科学探究的实验室。
▲ 德国邮票上的牛顿与三棱镜实验
牛顿的第三项发现因苹果落地的故事而广为人知：在乌尔索普的一棵苹果树下，一只苹果从树上掉下来，激发了牛顿关于万有引力的灵感。当然，也有人怀疑故事的真实性，包括 19 世纪著名数学家德摩根；但更多的人都相信故事是真实发生过的：在那宁静的乡间，习惯于在苹果树下思考问题的牛顿，突然听到一只苹果落在地上发出声响，因而思索苹果落地的原因，最终彻悟宇宙的普遍规律。如果换一个人，换一个时间，一个生活在 5G 时代、对自然界的秘密毫无好奇心的庸人在苹果树下用苹果手机刷着微信，突然听到苹果的落地声，于是浮想联翩、灵光闪现……那不用说是无聊的杜撰。但是，苹果树下坐着的是 1666 年避疫在家的牛顿，你很难让人相信这仅仅是人们的臆想。实际上，牛顿的侄女凯瑟琳.巴顿曾经向参加过牛顿葬礼的法国思想家伏尔泰讲起过这则故事，1741-1752 年间担任英国皇家学会会长的马丁.福克斯也和他人说起过这则故事。
后来，牛顿用数学的方法证明了万有引力定律以及力学三大定律，并将其写进《自然哲学的数学原理》（1687）中。欧洲的知识阶层普遍认为：上帝创造了世界，而牛顿发现了上帝创造世界的方法！万有引力定律以及其他力学定律的发现，深刻地改变了人类的世界观，人类不再像英国哲学家休谟所说的那样，＂被悬挂在永恒的疑惧之中＂，＂既没有足够的智慧预见未来，也没有能力防止那些使我们不断受伤害的不幸事件发生＂，而是坚信：自然界是有规律的，而规律是可以认识的，并且是用数学来刻画的！
1727 年，英国诗人蒲柏为牛顿撰写了墓志铭：
自然和自然的规律在黑夜里隐藏，
上帝说，‘让牛顿来吧’，
于是一切都变得光亮。
回顾牛顿避疫期间的科学发现，我们不禁要问：在整个人类历史上，还有谁能拥有如此不平凡的两年时光？
疫情过后
▲ 牛顿塑像（采自 E. F. 金《牛顿传略》）
1666 年，伦敦大疫伴随着一场全所未有的大火而画上了句号。剑桥大学于 1667 复课，牛顿和其他学生一样，从家乡返回。四年的积累，两年的沉淀，如今的牛顿业已成为世界一流的数学家和物理学家。就在剑桥大学复课当年的 10 月份，他被选为低级研究员（minor fellow），翌年 7 月，他又被选为高级研究员（major fellow）。巴罗教授敏锐地发现了牛顿的才能，于 1669 年将这位学生的论文寄给伦敦的柯林斯（柯林斯和世界各地的数学家有着广泛的通信联系），希望他通过通信，让世界上更多的数学家了解牛顿。同年，巴罗毅然辞去卢卡斯教授职位，并力荐牛顿作为他的继任者。27 岁的牛顿顺利成为卢卡斯数学教授。
从此，一颗璀璨的科学新星，不仅点亮了工业革命的前程，更是照亮了人类文明的天空。
结语
▲ 威斯敏斯特教堂内的牛顿之墓。(图自维基)
1665 年的那场大疫，让无数人生活在恐惧、谵妄和迷信之中。作为一名剑桥学子，牛顿可能并没有为抗疫做出过什么直接的贡献，但他通过自己的科学著作，给予人类前所未有的理性，正是这种理性，一方面，让人类在遇到灾难的时候，能够沉着冷静、充满信心地去寻找科学的治疫良方；另一方面，他很好地利用了避疫的两年时光，心无旁骛地做自己喜欢的研究工作，一举超越了他在剑桥的所有同学，为未来的发展打下坚实的基础。
三个半世纪之后的今天，人间又逢瘟疫。绝大多数居家避疫的人或悼念逝者，或为病者祈福，或给予疫区微薄捐助，或充当键盘侠发正义之声，或不停转发各类信息（其中谣言甚多），除此之外，对于疫情本身大抵是无所作为的。无聊乎？厌倦乎？茫茫然无所适从乎？饱食终日无所事事乎？想想乌尔索普村那棵苹果树下的牛顿。
一个人在自己专业领域的耕耘、坚守与创获，正是大疫期间让自己有功于国家、有益于世界的正途。
作者简介：汪晓勤，华东师范大学教师教育学院教授，博士生导师，HPM 工作室主持人。主要从事数学史与数学教育研究。
注：本文为作者给《上海 HPM 通讯》写的刊首语，[遇见数学] 获科学出版社数学教育授权转发 。与本文相关的作者经典著作《HPM：数学史与数学教育》：
数学史与数学教育之间的关系（HPM）是数学教育的一个研究领域，研究的课题包括：关于＂为何＂和＂如何＂的探讨、教育取向的数学史、历史相似性、数学史融入数学教学的实践、HPM 与教师专业发展、数学史融入数学教材等。本书全面展示了作者及其研究团队近十年以来在上述各课题上的研究成果。