如何求矩形对角线的长度

　　在本文中：使用长和宽使用面积和周长使用面积和边长的相对关系
　　对角线是连接矩形的一个角及其对角的一条直线。一个矩形有两条对角线，它们长度相等。如果知道矩形各边的边长，你可以借助勾股定理轻易地算出对角线的长度，因为对角线将矩形分成了两个直角三角形。如果你不知道边长，但知道面积和周长，或边长之间的关系等其他信息，你可以先计算出矩形的长和宽，然后再用勾股定理算出对角线的长度。
　　方法
　　1:使用长和宽
　　1:列出勾股定理的公式。该公式是
　　{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
　　，其中
　　{\displaystyle a}
　　和
　　{\displaystyle b}
　　是直角三角形直角边的边长，而
　　{\displaystyle c}
　　是直角三角形的斜边长度。
　　由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的长和宽是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
　　2:将长和宽代入到公式中。长和宽应该是已知条件，又或者你可以量出它们的长度。确保你用长和宽代入的是
　　{\displaystyle a}
　　和
　　{\displaystyle b}
　　。
　　例如，如果矩形的宽是3 cm，而长是4 cm，代入公式后得到如下等式：
　　{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}
　　。
　　3:算出长和宽的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
　　例如：
　　{\displaystyle 3^{2}+4^{2}=c^{2}}
　　{\displaystyle 9+16=c^{2}}
　　{\displaystyle 25=c^{2}}
　　4:将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出
　　{\displaystyle c}
　　的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
　　例如：
　　{\displaystyle 25=c^{2}}
　　{\displaystyle {\sqrt {25}}={\sqrt {c^{2}}}}
　　{\displaystyle 5=c}
　　因此，宽为3 cm，而长为4 cm的矩形，其对角线的长度是5 cm。
　　方法
　　2:使用面积和周长
　　1:列出矩形的面积公式。该公式是
　　{\displaystyle A=lw}
　　，其中
　　{\displaystyle A}
　　为矩形的面积，
　　{\displaystyle l}
　　为矩形的长，而
　　{\displaystyle w}
　　为矩形的宽。
　　2:将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量
　　{\displaystyle A}
　　。
　　例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：
　　{\displaystyle 35=lw}
　　。
　　3:变换等式，使之变成
　　w{\displaystyle w}
　　的表达式。等式两边都除以
　　{\displaystyle l}
　　。将这个表达式放到一边。稍后你会将它代入周长公式。
　　例如：
　　{\displaystyle 35=lw}
　　{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}
　　。
　　4:列出矩形的周长公式。该公式是
　　{\displaystyle P=2(w+l)}
　　，其中
　　{\displaystyle w}
　　为矩形的宽，而
　　{\displaystyle l}
　　为矩形的长。
　　5:将周长的值代入到公式中。确保你代入的是变量
　　{\displaystyle P}
　　。
　　例如，如果矩形的周长是24厘米，则代入后会得到如下等式：
　　{\displaystyle 24=2(w+l)}
　　。
　　6:等式两边都除以2。这样就算出了
　　{\displaystyle w+l}
　　的值。
　　例如：
　　{\displaystyle 24=2(w+l)}
　　{\displaystyle {\frac {24}{2}}={\frac {2(w+l)}{2}}}
　　{\displaystyle 12=w+l}
　　。
　　7:将
　　w{\displaystyle w}
　　的表达式代入到等式中。使用你变换面积公式得到的表达式。
　　例如，如果使用你变换而得的表达式
　　{\displaystyle {\frac {35}{l}}=w}
　　，把它代入周长公式中的
　　{\displaystyle w}
　　：
　　{\displaystyle 12=w+l}
　　{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}
　　8:去掉等式中的分母。等式两边都乘以
　　{\displaystyle l}
　　。
　　例如：
　　{\displaystyle 12={\frac {35}{l}}+l}
　　{\displaystyle 12\times l=({\frac {35}{l}}\times l)+(l\times l)}
　　{\displaystyle 12l=35+l^{2}}
　　9:使等式一边等于0。等式两边都减去一次项。
　　例如：
　　{\displaystyle 12l=35+l^{2}}
　　{\displaystyle 12l-12l=35+l^{2}-12l}
　　{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}
　　10:按项次对等式重新排序。这意味着带指数的项排第一个，然后是带变量的项，最后是常量。重新排序时，请注意保留正确的正、负符号。你应该注意到了，这个等式现在变成了一个二次方程。
　　例如，
　　{\displaystyle 0=35+l^{2}-12l}
　　变成了
　　{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}
　　。
　　11:将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
　　例如，方程
　　{\displaystyle 0=l^{2}-12l+35}
　　可因式分解成
　　{\displaystyle 0=(l-7)(l-5)}
　　。
　　12:求
　　l{\displaystyle l}
　　的值。令各项等于零，求出变量。你会得到方程的两个解，或两个根。由于你面对的是一个矩形，所以得到的两个根是矩形的宽和长。
　　例如：
　　{\displaystyle 0=(l-7)}
　　{\displaystyle 7=l}
　　及
　　{\displaystyle 0=(l-5)}
　　{\displaystyle 5=l}
　　。
　　因此，矩形的长和宽分别为7 cm和5 cm。
　　13:列出勾股定理的公式。该公式是
　　{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
　　，其中
　　{\displaystyle a}
　　和
　　{\displaystyle b}
　　是直角三角形直角边的边长，而
　　{\displaystyle c}
　　是直角三角形斜边的边长。
　　由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
　　14:将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
　　例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：
　　{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
　　。
　　15:算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
　　例如：
　　{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
　　{\displaystyle 25+49=c^{2}}
　　{\displaystyle 74=c^{2}}
　　16:将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出
　　{\displaystyle c}
　　的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
　　例如：
　　{\displaystyle 74=c^{2}}
　　{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}
　　{\displaystyle 8.6024=c}
　　因此，面积为
　　{\displaystyle 35cm^{2}}
　　而周长为24 cm的矩形，其对角线长度约等于8.6 cm。
　　方法
　　3:使用面积和边长的相对关系
　　1:写下能够说明两条边边长之间关系的等式。你可以将之写成长(
　　{\displaystyle l}
　　)或宽(
　　{\displaystyle w}
　　)的表达式。将这个等式放到一边。稍后你会将它代入面积公式。
　　例如，如果已知矩形的宽比矩形的长要长2 cm，你可以列出
　　{\displaystyle w}
　　的表达式：
　　{\displaystyle w=l+2}
　　。
　　2:列出矩形的面积公式。该公式是
　　{\displaystyle A=lw}
　　，其中
　　{\displaystyle A}
　　为矩形的面积，
　　{\displaystyle l}
　　为矩形的长，而
　　{\displaystyle w}
　　为矩形的宽。
　　如果知道矩形的周长，你也可以使用这种方法，不过列出的应该是周长公式，而非面积公式。矩形的周长公式是
　　{\displaystyle P=2(w+l)}
　　，其中
　　{\displaystyle w}
　　为矩形的宽，而
　　{\displaystyle l}
　　为矩形的长。
　　3:将矩形的面积代入到公式中。确保你代入的是变量
　　{\displaystyle A}
　　。
　　例如，如果矩形的面积是35平方厘米，则代入后得到如下等式：
　　{\displaystyle 35=lw}
　　。
　　4:将长或宽的关系表达式代入公式中。由于你面对的是一个矩形，所以求
　　{\displaystyle l}
　　或
　　{\displaystyle w}
　　变量的值都可以。
　　例如，如果你知道
　　{\displaystyle w=l+2}
　　，可以将这个表达式代入面积公式中的
　　{\displaystyle w}
　　：
　　{\displaystyle 35=lw}
　　{\displaystyle 35=l(l+2)}
　　5:列出二次方程。用括号前的系数乘以括号内的各项，然后使方程的一边等于0。
　　例如：
　　{\displaystyle 35=l(l+2)}
　　{\displaystyle 35=l^{2}+2l}
　　{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}
　　6:将二次方程因式分解。关于如何进行此步骤的完整说明，请阅读解二次方程。
　　例如，方程
　　{\displaystyle 0=l^{2}+2l-35}
　　可因式分解成
　　{\displaystyle 0=(l+7)(l-5)}
　　。
　　7:求
　　l{\displaystyle l}
　　的值。令各项等于零，求出变量。你会求出方程的两个解，或两个根。
　　例如：
　　{\displaystyle 0=(l+7)}
　　{\displaystyle -7=l}
　　及
　　{\displaystyle 0=(l-5)}
　　{\displaystyle 5=l}
　　。
　　在本例中，你会得到一个负数根。由于矩形的长不可能为负数，所以长必定为5 cm。
　　8:将长或宽的值代入到关系表达式中。这样就算出了矩形另一条边的边长。
　　例如，如果你知道矩形的长为5 cm， 且边长之间的关系为
　　{\displaystyle w=l+2}
　　，可以将长的值5代入到表达式中：
　　{\displaystyle w=l+2}
　　{\displaystyle w=5+2}
　　{\displaystyle w=7}
　　9:列出勾股定理的公式。该公式是
　　{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
　　，其中
　　{\displaystyle a}
　　和
　　{\displaystyle b}
　　是直角三角形直角边的边长，而
　　{\displaystyle c}
　　是直角三角形斜边的边长。
　　由于对角线将矩形切成了两个完全一样的直角三角形，所以你可以使用勾股定理。矩形的宽和长是三角形的直角边；对角线是三角形的斜边。
　　10:将宽和长代入到公式中。此时，长可以随意代入到a或b中，将宽代入另一个即可。
　　例如，如果你算出矩形的宽和长为5 cm和7 cm，代入后得到如下等式：
　　{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
　　。
　　11:算出宽和长的平方，然后相加求和。记住，一个数的平方等于用这个数乘以自己。
　　例如：
　　{\displaystyle 5^{2}+7^{2}=c^{2}}
　　{\displaystyle 25+49=c^{2}}
　　{\displaystyle 74=c^{2}}
　　12:将等式两边开平方。最简单的计算平方根的方法是使用计算器。如果你没有科学计算器，可以使用在线计算器。这样可以算出
　　{\displaystyle c}
　　的值，即三角形的斜边，也就是矩形对角线的长度。
　　例如：
　　{\displaystyle 74=c^{2}}
　　{\displaystyle {\sqrt {74}}={\sqrt {c^{2}}}}
　　{\displaystyle 8.6024=c}
　　因此，宽比长要长2 cm，且面积为
　　{\displaystyle 35cm^{2}}
　　的矩形，其对角线的长度约等于8.6 cm。