圆周率与滑块碰撞次数之间的奇妙关系

　　昨天看到一篇文章《这一切要从碰撞的滑块和量子搜索讲起》，里面说到圆周率π与滑块碰撞次数有种奇妙的关系：
　　在光滑的平面上放着两个1 kg的滑块，在它们的左侧有一面坚固且不可移动的墙。两个滑块一个离墙近一些，一个远一些，而且后者正在向前者滑去。可以想象，接下来将会产生许多次碰撞。假设每次碰撞时都没有动能损失，整个过程将像下面图中展示的那样：
　　图1
　　右侧的滑块碰撞左侧的滑块，并将全部动量转移给左侧滑块，左侧滑块碰到墙反弹回来，再与右侧滑块发生碰撞并将动量全部转移过去。期间左侧滑块一共发生了3次碰撞。如果我们增大右侧滑块的质量，会发现一些更有趣的事情：将右侧滑块质量换成100 kg，那每次碰撞时只会有一小部分动量发生转移，将会碰撞31次；如果将右侧滑块质量换成10000kg，那整个过程将发生314次碰撞。
　　不断100倍100倍地增加右侧滑块质量，你会发现神奇的现象：总碰撞次数与π每一位的数字越来越接近。
　　图2
　　我也感觉很神奇，于是做了一下计算，计算结果支持这个说法。
　　图3
　　设滑块a和滑块b的质量分别为ma和mb，速度为va和vb。速度随着碰撞而改变，设两个滑块间发生第m次碰撞后的速度分别为va,m和vb,m。
　　由于碰撞过程中没有动能损失，因此滑块a碰撞左侧墙壁后，速度将大小不变，方向相反。根据动量守恒原理，可列下式：
　　-mava,m-1 + mbvb,m-1 = mava,m + mbvb,m .......①
　　因为碰撞过程动能无损失，可列下式：
　　mava,m-12 + mbvb,m-12 = mava,m2 + mbvb,m2..②
　　设mb = K·ma（图3中K为100），由式①、②可得（计算过程略）：
　　...........................③
　　.........................④
　　当vb,m为负，且|va,m|&lt;=|vb,m|时，两个滑块将不再发生碰撞，此时如果va,m&gt;0，则滑块a还将与墙壁碰撞一次。将式③、④写入Excel表格，可以快速得到结果：<!--=|vb,m|时，两个滑块将不再发生碰撞，此时如果va,m-->
　　表1
　　K=1
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0:
　　1:
　　1:
　　1:
　　0:
　　2:
　　0:
　　-1
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞3次。
　　2m-1
　　表2
　　K=100
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0:
　　1:
　　1:
　　1.98019802
　　0.98019802
　　2:
　　3.881972356
　　0.921576316
　　3:
　　5.630005212
　　0.82645654
　　4:
　　7.155067565
　　0.698605813
　　5:
　　8.396760906
　　0.543087528
　　6:
　　9.30590926
　　0.366060826
　　7:
　　9.846506752
　　0.174536666
　　8:
　　9.997143581
　　-0.023899837
　　9:
　　9.751853931
　　-0.221389812
　　10:
　　9.120352245
　　-0.410111874
　　11:
　　8.127648489
　　-0.582591881
　　12:
　　6.813057665
　　-0.731998943
　　13:
　　5.228642775
　　-0.852415947
　　14:
　　3.437152923
　　-0.939073904
　　15:
　　1.509538203
　　-0.988540816
　　16:
　　-0.477860208
　　-0.998857596
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞31次。
　　2m-1
　　表3
　　K=10000
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0:
　　1:
　　1:
　　1.99980002
　　0.99980002
　　2:
　　3.9988002
　　0.99920016
　　3:
　　5.99620102
　　0.99820066
　　4:
　　7.991203599
　　0.996801919
　　5:
　　9.983010016
　　0.995004498
　　6:
　　11.97082363
　　0.992809115
　　7:
　　13.95384939
　　0.990216647
　　8:
　　15.93129417
　　0.987228133
　　9:
　　17.90236707
　　0.983844767
　　10:
　　19.86627974
　　0.980067902
　　11:
　　21.82224669
　　0.97589905
　　12:
　　23.76948562
　　0.971339876
　　13:
　　25.7072177
　　0.966392206
　　14:
　　27.63466792
　　0.961058017
　　15:
　　29.55106539
　　0.955339444
　　...
　　...
　　...
　　155:
　　4.168389998
　　-0.999130849
　　156:
　　2.169494513
　　-0.999764637
　　157:
　　0.169731316
　　-0.99999856
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞314次。
　　（2m-1)+1
　　表4
　　K=1000000
　　m
　　va
　　vb
　　初始
　　0:
　　1:
　　1:
　　1.999998
　　0.999998
　　2:
　　3.999988
　　0.999992
　　3:
　　5.999962
　　0.999982
　　4:
　　7.999912
　　0.999968
　　5:
　　9.999830001
　　0.99995
　　6:
　　11.999708
　　0.999928001
　　7:
　　13.999538
　　0.999902002
　　8:
　　15.99931201
　　0.999872003
　　9:
　　17.99902202
　　0.999838004
　　10:
　　19.99866003
　　0.999800007
　　11:
　　21.99821804
　　0.99975801
　　12:
　　23.99768807
　　0.999712014
　　13:
　　25.9970621
　　0.999662019
　　14:
　　27.99633215
　　0.999608026
　　15:
　　29.99549021
　　0.999550034
　　...
　　...
　　...
　　1569:
　　3.593691854
　　-0.999993543
　　1570:
　　1.593699581
　　-0.99999873
　　1571:
　　-0.406299066
　　-0.999999917
　　加上与墙壁的碰撞，共碰撞3141次。
　　2m-1
　　以表3中100vb为纵坐标，va为横坐标，可得下面半圆图形：
　　图4
　　先写到这里，有时间再分析为什么圆周率π与滑块碰撞次数之间有这个奇妙关系。