如何解三次方程
⇨⇦
在本文中：解不含常数项的三次方程使用因数表求整数解使用判别式方法视频
三次方程的最高次数为3次，它有3个解，或者说3个根，方程本身的形式是
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
。虽然三次方程有些令人望而生畏，并且的确不好解，但在具备大量基础知识的前提下，只要使用正确的方法，即使是最棘手的三次方程问题也可以顺利求解。三次方程的解法有很多种，你可以尝试使用二次公式、求整数解或确定判别式方法。
方法
1:解不含常数项的三次方程
1:检查三次方程，看是否包含常数项
d{\displaystyle d}
。三次方程的形式为
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
。但是，唯一必要的关键项是
{\displaystyle x^{3}}
，这意味着三次方程中未必会出现其他项。
如果方程中包含常数项
{\displaystyle d}
，那么你就必须使用其它解法。
如果
{\displaystyle a=0}
，那么这个方程就不是三次方程。
2:提取方程的公因式
x{\displaystyle x}
。由于方程没有常数项，所以其中各项都包含变量
{\displaystyle x}
。也就是说，可以提取方程的公因式
{\displaystyle x}
来简化方程。这样做之后，可以将方程重写为
{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)}
。
例如，假设我们一开始要解的方程是
{\displaystyle 3x^{3}-2x^{2}+14x=0}
。
提取方程的公因式
{\displaystyle x}
，得到
{\displaystyle x(3x^{2}-2x+14)=0}
。
3:如果可能，将得到的二次方程因式分解。很多情况下，提取公因式
{\displaystyle x}
后得到的二次方程
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
都能被因式分解。例如，如果要解
{\displaystyle x^{3}+5x^{2}-14x=0}
，你可以：
提取公因式
{\displaystyle x}
：
{\displaystyle x(x^{2}+5x-14)=0}
将括号内的二次方程因式分解：
{\displaystyle x(x+7)(x-2)=0}
设各因式等于
{\displaystyle 0}
。得到方程的解
{\displaystyle x=0,x=-7,x=2}
。
4:如果无法手动对括号内的部分进行因式分解，可使用二次公式求解。你可以将
{\displaystyle a}
、
{\displaystyle b}
、
{\displaystyle c}
的值代入二次公式(
{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
)中，算出使二次方程等于0的x值。使用这种方法可以求出三次方程的两个解。
示例中，将
{\displaystyle a}
、
{\displaystyle b}
和
{\displaystyle c}
的值
{\displaystyle 3}
、
{\displaystyle -2}
和
{\displaystyle 14}
分别代入到以下二次公式：
{\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
{\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}}
{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}}
{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}}
{\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
解1:
{\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}}
{\displaystyle {\frac {2+12.8i}{6}}}
解2:
{\displaystyle {\frac {2-12.8i}{6}}}
5:零和二次方程的解就是三次方程的解。二次方程有两个解，而三次方程有三个。你已经求出其中的两个解，即你为括号中＂二次＂部分求出的解。对于可以用＂因式分解＂方法求解的方程，第三个解一定为
{\displaystyle 0}
。
将方程分解为包含两个因式的形式
{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0}
，左边的因式是变量
{\displaystyle x}
，右边的因式是括号内的二次方程。如果任一因式等于
{\displaystyle 0}
，则整个方程等于
{\displaystyle 0}
。
因此，使括号内的二次因式等于
{\displaystyle 0}
的两个解是三次方程的解，而使左边因式等于
{\displaystyle 0}
的
{\displaystyle 0}
本身，也是三次方程的解。
方法
2:使用因数表求整数解
1:确保三次方程有一个
d{\displaystyle d}
值不等于零的常数项。如果形式为
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}
的方程拥有一个不等于零的
{\displaystyle d}
值，那就无法将它因式分解为二次方程。但是不用担心，你还可以使用其他方法，比如下文中介绍的方法。
以方程
{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x=-6}
为例。这个方程中，要让等号的右边等于
{\displaystyle 0}
，你需要两边都加
{\displaystyle 6}
。
得到新的方程
{\displaystyle 2x^{3}+9x^{2}+13x+6=0}
。由于
{\displaystyle d=6}
，你无法使用二次方程方法。
2:找出
a{\displaystyle a}
和
d{\displaystyle d}
的因数。要解三次方程，我们需要先关注
{\displaystyle x^{3}}
项的系数
{\displaystyle a}
以及方程最后的常数项
{\displaystyle d}
，找出它们各自的因数。记住，如果两个数字相乘得到另一个数，那么这两个数就是乘积的因数。
例如，由于你可以用
{\displaystyle 6\times 1}
和
{\displaystyle 2\times 3}
得到6，所以1、2、3、6就是6的因数。
例题中，
{\displaystyle a=2}
，而
{\displaystyle d=6}
。2的因数是1和2。6的因数是1、2、3、6。
3:用
a{\displaystyle a}
的因数除以
d{\displaystyle d}
的因数。将
{\displaystyle a}
的各因数除以
{\displaystyle d}
的各因数所得的值罗列出来。这样做通常会得到许多分数和几个整数。三次方程的整数解要么是其中的一个整数，要么是其中一个整数的相反数。
例题中，用
{\displaystyle a}
的因数1和2除以
{\displaystyle d}
的因数1、2、3、6，得到：
{\displaystyle 1}
，
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
，
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
，
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
，
{\displaystyle 2}
和
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
。然后，我们将各数字的相反数加入进去，使之更加完整：
{\displaystyle 1}
，
{\displaystyle -1}
，
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
，
{\displaystyle -{\frac {1}{2}}}
，
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
，
{\displaystyle -{\frac {1}{3}}}
，
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
，
{\displaystyle -{\frac {1}{6}}}
，
{\displaystyle 2}
，
{\displaystyle -2}
，
{\displaystyle {\frac {2}{3}}}
和
{\displaystyle -{\frac {2}{3}}}
。三次方程的整数解就在其中。
4:手动代入整数，这种方法较为简单，但可能会比较费时。得到相除的结果后，你可以迅速将整数手动代入，看哪些能让三次方程等于
{\displaystyle 0}
，进而求出方程的解。例如，如果将
{\displaystyle 1}
代入方程，可以得到：
{\displaystyle 2(1)^{3}+9(1)^{2}+13(1)+6}
，即
{\displaystyle 2+9+13+6}
，结果不等于
{\displaystyle 0}
。因此，使用得到的下一个值。
如果将
{\displaystyle -1}
代入方程，得到
{\displaystyle (-2)+9+(-13)+6}
，结果等于
{\displaystyle 0}
。这意味着
{\displaystyle -1}
是方程的一个整数解。
5:使用更复杂，但可能更快速的综合除法。如果你不想花时间一个一个地去代入所有的值，不妨尝试一下更快捷的方法，也就是所谓的综合除法。总的来说，你应该使用综合除法，用得到的整数值除以
{\displaystyle a}
、
{\displaystyle b}
、
{\displaystyle c}
和
{\displaystyle d}
。如果得到余数
{\displaystyle 0}
，那么这个值就是三次方程的解。
综合除法是一个复杂的主题，超出了本文论述的范围。以下的例子示范了如何用综合除法求三次方程的解：
-1 | 2 9 13 6
__| -2-7-6
__| 2 7 6 0
由于得到的最终余数为
{\displaystyle 0}
，由此可知，
{\displaystyle -1}
是三次方程的一个整数解。
方法
3:使用判别式方法
1:写下
a{\displaystyle a}
、
b{\displaystyle b}
、
c{\displaystyle c}
和
d{\displaystyle d}
的值。本方法会大量用到方程各项的系数。开始前，记下
{\displaystyle a}
、
{\displaystyle b}
、
{\displaystyle c}
和
{\displaystyle d}
的值，免得之后混淆。
对于例题
{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}
，写下
{\displaystyle a=1}
、
{\displaystyle b=-3}
、
{\displaystyle c=3}
和
{\displaystyle d=-1}
。注意，如果有
{\displaystyle x}
变量前没有系数，这代表它的系数为
{\displaystyle 1}
。
2:使用正确的公式计算判别式零。用判别式方法求三次方程的解会用到十分复杂的数学原理，但如果严格遵循方法流程，你会发现，它在解令其他方法束手无策的三次方程方面十分实用。首先，将适当的值代入到公式
{\displaystyle \Delta _{0}=b^{2}-3ac}
中，求出第一个重要数值，即判别式零
{\displaystyle \Delta _{0}}
。
判别式是一个数字，可以为我们提供关于多项式根的信息。你可能已经知道二次判别式是(
{\displaystyle b^{2}-4ac}
)。
例题中的计算过程如下：
{\displaystyle b^{2}-3ac}
{\displaystyle (-3)^{2}-3(1)(3)}
{\displaystyle 9-3(1)(3)}
{\displaystyle 9-9=0=\Delta _{0}}
3:然后，计算
Δ1=2b3−9abc+27a2d{\displaystyle \Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d}
。你需要的下一个重要数值是判别式
{\displaystyle 1}
，即
{\displaystyle \Delta _{1}}
，它的计算过程会稍微复杂一点，但方法与
{\displaystyle \Delta _{0}}
基本相同。将适当的值代入到公式
{\displaystyle 2b^{3}-9abc+27a^{2}d}
中，得到
{\displaystyle \Delta _{1}}
的值。
例题中的计算过程如下：
{\displaystyle 2(-3)^{3}-9(1)(-3)(3)+27(1)^{2}(-1)}
{\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)}
{\displaystyle -54+81-27}
{\displaystyle 81-81=0=\Delta _{1}}
4:计算:
{\displaystyle \Delta =(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div -27a^{2}}
。然后，我们会使用
{\displaystyle \Delta _{0}}
和
{\displaystyle \Delta _{1}}
的值计算三次方程的判别式。在三次方程中，如果判别式为正数，则方程有三个实数解。如果判别式等于零，则方程有一个或两个实数解，且有时两个实数解会相等。如果判别式为负数，则方程只有一个实数解。
三次方程必定有至少一个实数解，因为其函数图形必定会与X轴相交至少一次。
例题中，由于
{\displaystyle \Delta _{0}}
和
{\displaystyle \Delta _{1}}
都等于
{\displaystyle 0}
，所以
{\displaystyle \Delta }
的计算相对简单。计算过程如下：
{\displaystyle (\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})\div (-27a^{2})}
{\displaystyle ((0)^{2}-4(0)^{3})\div (-27(1)^{2})}
{\displaystyle 0-0\div 27}
{\displaystyle 0=\Delta }
，所以方程有一个或两个解。
5:计算:
{\displaystyle C=^{3}{\sqrt {\left({\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}+\Delta _{1}\right)\div 2}}}
。最后一个需要计算的重要数值是
{\displaystyle C}
。它能帮助我们在最后求出三个根。按照正常计算过程，根据需要代入
{\displaystyle \Delta _{1}}
和
{\displaystyle \Delta _{0}}
。
例题中，
{\displaystyle C}
的计算过程如下：
{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3})+\Delta _{1}}}\div 2}}}
{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0^{2}-4(0)^{3})+(0)}}\div 2}}}
{\displaystyle ^{3}{\sqrt {{\sqrt {(0-0)+0}}\div 2}}}
{\displaystyle 0=C}
6:使用变量计算三个根。三次方程的根或解可以使用公式
{\displaystyle -(b+u^{n}C+\Delta _{0}\div (u^{n}C))\div 3a}
计算，其中
{\displaystyle u=(-1+{\sqrt {-3}})\div 2}
，而n等于1、2或3。根据需要代入数值进行计算，其中涉及到大量的数学运算，但你应该可以得到三个使方程成立的解。
你可以分别计算n等于1、2、3时公式的值，来求得例题的答案。这样得到的答案可能就是三次方程的解。你可以将答案代入到方程中，使之等于0的答案即为方程的正确解。
例如，将1代入到
{\displaystyle x^{3}-3x^{2}+3x-1}
中，计算结果为0，所以1就是三次方程的一个解。
Quick Summary
Summary:Solve a Cubic Equation