模型研究极致经典最值系列之费马点

　　皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有＂业余数学家之王＂的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的＂费马小定理＂、＂费马大定理＂等．
　　据说费马在提出＂费马大定理＂时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。看得出那个时候纸确实挺贵的，然后，直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．
　　果然，数学搞得好的都是装x的一把好手．
　　言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．
　　问题描述
　　在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．
　　【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．
　　阿哈哈哈，此处一个也用不上！
　　其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！
　　算了算了，不墨迹了，直接报答案了：
　　若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．
　　接下来讨论3个问题：
　　（1）如何作三角形的费马点？（是什么）
　　（2）为什么是这个点？（为什么）
　　（3）费马点怎么考？（怎么办）
　　01:如何作三角形的费马点？
　　是什么？
　　问题要从初一学到的全等说起：
　　（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．
　　（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．
　　（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）
　　（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
　　在图三的模型里有结论：
　　（1）∠BPD=60°；
　　（2）连接AP，AP平分∠DPE．
　　有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．
　　原来在＂手拉手全等＂就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！
　　但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<>
　　此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？
　　不不不，这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．
　　所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．
　　02:为什么是这个点？
　　为什么？
　　为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？
　　归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！
　　在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．
　　类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．
　　巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！
　　更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！
　　接下来才是真正的证明：
　　考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．
　　△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．
　　以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．
　　没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，
　　显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．
　　还剩下第3个问题！
　　如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！
　　03:费马点怎么考？
　　怎么办？
　　直接考，要不然还能怎么考？
　　看看今年2019武汉中考填空最后一题：
　　问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．
　　问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4倍根号2，点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．
　　【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！
　　如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）
　　过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，
　　根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，
　　可得∠HMQ=45°，
　　∴△MHQ是等腰直角三角形，
　　∴MQ=HQ=4，
　　∴NH=2倍根号29．
　　练习1
　　如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．
　　【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！
　　如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于H点，根据勾股定理，BD²=BH²+DH²即可得出结果．
　　练习2
　　如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．
　　【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．
　　分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，
　　易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF
　　∴ME+MA+MD=ME+EG+GF
　　过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．
　　来源：有一点数学，作者：刘岳，如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请随时联系微信ABC-shuxue处理。