口袋数学数学七上压轴题动态问题
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01 典型例题
如图，已知点A、点B是直线上的两点，AB=12厘米，点C在线段AB上．点P、点Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．
（1）当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ=________厘米；
（2）若AC=6厘米，点P、点Q分别从点C、点B同时出发沿射线BA方向运动，当运动时间为2秒时，求PQ的长；
（3）若AC=4厘米，点P、Q分别从点C、点B同时出发在直线AB上运动，则经过多少时间后线段PQ的长为5厘米．
【解析】
（1）由线段中点的定义可得CP= 0.5AC，CQ= 0.5CB，所以PQ= 0.5AC+ 0.5CB= 0.5AB，把AB的值代入计算即可求解；（2）由路程=速度x时间可求出BQ和CQ、CP的值，则PQ=CP+CQ可求解；（3）由题意可分4种情况求解：① 当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P的后面，由图可列关于时间的方程求解；② 当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P前面， 由图可列关于时间的方程求解；③ 当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇前， 由图可列关于时间的方程求解；④ 当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇后，由图可列关于时间的方程求解。
【答案】 （1）如图1，因为AB=12厘米，点C在线段AB上，
所以，当点P、Q分别在线段AC、BC的中点时，线段PQ=1/2 AB=6．故答案为：6；（2）解：如图2，当t=2时，BQ=2×2=4，
则CQ=6-4=2．
因为CP=2×1=2，所以PQ=CP+CQ=2+2=4(厘米)（3）解：设运动时间为t秒．
①如图3，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P的后面，
得：t+8-2t=5，解得t=3，
②如图4，当点P、Q沿射线BA方向运动，若点Q在点P前面，得：2t-8-t=5，解得t=13．
③如图5，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇前，得：t+2t=3，解得t=1．
④如图6，当点P、Q在直线上相向运动，点P、Q在相遇后，得：t+2t=13，解得t= 13/3 ．
综合可得t=1，3，13， 13/3 .所以经过1，3，13， 13/3 秒后PQ的长为5厘米．
02 举一反三
如图，点A、B都在数轴上，O为原点.
（1）点B表示的数是________；
（2）若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，则2秒后点B表示的数是________；
（3）若点A、B分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点O不动，t秒后，A、B、O三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求t的值.
【解析】（1）根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案；（2）用点B开始所表示的数＋点B运动的路程＝经过t秒后点B表示的数，即可得出结论；（3）找出t秒后点A、B表示的数，分①点O为线段AB的中点，②当点B是线段OA的中点，③点A是线段OB的中点，根据线段中点的数学语言列出方程，求解即可求出此时的t值，综上即可得出结论。
【答案】 （1）点B表示的数是-4；（2）2秒后点B表示的数是 0 ；
（3）解：① 当点O是线段AB的中点时，OB=OA， 4－3t=2+t ，t=0.5
② 当点B是线段OA的中点时， OA = 2 OB，2+t=2(3t-4)，t=2
③ 当点A是线段OB的中点时， OB = 2 OA，3t－-4=2(2+t)，t=8
综上所述，符合条件的t的值是0.5，2或8.
03 巩固练习
已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.
（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.
（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.
（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【分析】（1）根据两点间的距离公式得出AB=7， 又因P为线段AB的三等分点，所以 AP 1/3 或 8/3 ，进而再根据数轴上两点间的距离公式即可求出点P所表示的数；（2）分类讨论：若P在A点左侧 ，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值； 若P在A点、B中间 ，由于PA+PB=AB=7,故 不存在这样的点P； 若P在B点右侧 ，根据两点间的距离公式由PA+PB=10列出方程，求解算出x的值，综上所述即可得出答案；（3） 设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x ，然后分类讨论： ①当P为AB的中点， ②当A为BP中点时 ， ③当B为AP中点时 三种情况根据线段的中点性质列出方程，求解即可。
【答案】 （1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 7/3 或AP=7÷3×2= 14/3 ，所以P点对应的数为 1/3 或 8/3（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣ 7/2 ；
若P在A点、B中间. ∵AB=7，∴不存在这样的点P；
若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x= 13/2（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则 5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；
②当A为BP中点时，则2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= 9/7；
③当B为AP中点时，则2×（5﹣6x）=﹣2﹣x﹣3x，解得：x= 3/2 .
答：第 9/7 分钟时，A为BP的中点；第 3/2 分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点.