高中数学导数知识点总结及应用

　　知识点总结
　　一. 导数概念的引入
　　1. 导数的物理意义：
　　瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=
　　处的瞬时变化率是
　　2.导数的几何意义：
　　曲线的切线，当点
　　趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是
　　当点
　　趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=
　　处的导数就是切线PT的斜率k，即
　　3. 导函数：
　　当x变化时，
　　便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作
　　，即
　　。
　　二. 导数的计算
　　基本初等函数的导数公式：
　　导数的运算法则：
　　复合函数求导：
　　y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。
　　三、导数在研究函数中的应用
　　1. 函数的单调性与导数：
　　一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内
　　(1) 如果
　　＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；
　　(2) 如果
　　＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；
　　2. 函数的极值与导数：
　　极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。
　　求函数y=f(x)的极值的方法有：
　　（1）如果在
　　附近的左侧
　　＞0 ，右侧
　　＜0，那么
　　是极大值；
　　（2）如果在附近的左侧
　　＜0 ，右侧
　　＞0，那么
　　是极小值；
　　3. 函数的最大(小)值与导数：
　　求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：
　　（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；
　　（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
　　四. 推理与证明
　　（1）合情推理与类比推理
　　根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。
　　根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。
　　类比推理的一般步骤：
　　(1) 找出两类事物的相似性或一致性；
　　(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；
　　(3)一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；
　　(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。
　　（2）演绎推理（俗称三段论）
　　由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。
　　（3）数学归纳法
　　1.它是一个递推的数学论证方法。
　　2.步骤：
　　A. 命题在 n=1（或
　　）时成立，这是递推的基础；
　　B.假设在 n=k 时命题成立；
　　C. 证明 n=k+1 时命题也成立。
　　完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥
　　，且n∈N）结论都成立。
　　证明方法：1、反证法；2、分析法；3、综合法；
　　解题技巧
　　热点考向一导数在方程中的应用
　　[典例1]
　　已知函数f(x)＝x2－(a＋4)x－2a2＋5a＋3(a∈R)．
　　(1)当a＝3时，求函数f(x)的零点；
　　(2)若方程f(x)＝0的两个实数根都在区间(－1，3)上，求实数a的取值范围．
　　[方法规律]
　　利用导数解决函数零点(方程的根)问题的主要方法
　　(1)利用导数研究函数的单调性和极值，通过对极值正负的讨论研究根的问题；
　　(2)利用数形结合研究方程的根；
　　(3)利用导数结合零点定理研究根的存在问题；
　　(4)转化为不等式或最值问题解决函数零点问题.
　　热点考向二 导数在不等式中的应用
　　[方法规律]
　　利用导数解决不等式问题的类型
　　(1)不等式恒成立：基本思路就是转化为求函数的最值或函数值域的端点值问题．
　　(2)比较两个数的大小：一般的思路是把两个函数作差后构造一个新函数，通过研究这个函数的函数值与零的大小确定所比较的两个数的大小．
　　(3)证明不等式：对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数，然后利用函数的单调性和极值解决．
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