平行线的判定及其性质

　　提要
　　平行线的判定及其性质是初中几何的基本内容，是进一步研究几何问题的基础，难点主要有两个方面：一个是＂三线八角＂识别，这是正确运用性质与判定的基础；另一个是性质与判定的区分。
　　知识全解
　　一．平行线
　　（1）概念：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线，用符号＂‖＂表示，在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
　　（2）基本性质
　　①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
　　②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即a‖b，c‖b，那么a‖c。
　　二．平行线的判定、
　　（1）同位角相等，两直线平行。
　　（2）内错角相等，两直线平行。
　　（3）同旁内角互补，两直线平行。
　　三．平行线的性质
　　（1）两直线平行，同位角相等。
　　（2）两直线平行，内错角相等。
　　（3）两直线平行，同旁内角互补。
　　提示：平行线的性质是两直线平行以后才有角之间的关系，而平行线的判定是在已知某些角之间的关系条件下，得到两直线平行的结构。为了有效区分性质与判定，可记住下列口诀：＂已知平行用性质，要证平行用判定＂。
　　方法点拨
　　类型1 判定两条直线位置关系
　　例1 如果所示，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度，AB与CD平行吗
　　【分析】由PE与PF分别为角平分线，得到两对角相等，根据∠1与∠2的度数，求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180度，利用同旁内角互补两直线平行即可说明。
　　【解答】AB‖CD，理由如下：
　　∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度
　　∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF，∠2=∠PFD=1/2∠EFD
　　∴∠BEF=70度，∠EFD=110度，即∠BEF+∠EFD=180度
　　∴AB‖CD
　　【点评】解答这一类问题的关键是将条件转化为同旁内角，再判定。
　　类型2 判定角度之间的关系
　　例2 如图所示
　　E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系，并说明理由
　　【分析】因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF，所有∠DGF=∠EHF，则BD‖CE，∠C=∠ABD，又因为∠C=∠D，所有DF‖AC，，所以DF‖AC，故∠A=∠F
　　【解答】∠A=∠F，理由如下
　　∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF
　　∴∠DGF=∠EHF
　　∴BD‖CE
　　∴∠C=∠ABD
　　又∵∠C=∠D
　　∴∠D=∠ABD
　　∴DF‖AC
　　∴∠A=∠F
　　【点评】解答这类问题可采用两种思考方式，一种是根据条件逐步推出结论，另一种是根据结论逆向思考，寻求解答所需的条件，再结合已知条件解答。
　　类型3 添加平行线求角度
　　例3 如图所示，
　　AB‖EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30度，∠DEF=45度，则∠CDE等于（）
　　A.105度 B.75度 C.135度 D.115度
　　【分析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直，还给出了两个具体角的大小，但与要求的角无直接关系，可考虑添加平行线将问题转化，过点C和D作平行线，将要求的角转化到两个已知角中。
　　【解答】过点C作CM‖AB，过点D作DN‖AB
　　又∵AB‖EF
　　∴AB‖CM‖DN‖EF
　　∵AB‖CM，∠ABC=30度，则∠BCM=30度
　　又∵BC⊥CD，则∠BCD=90度
　　∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度
　　∵CM‖DN
　　∴∠MCD=1=60度
　　∵DN‖EF
　　∴∠DEF=∠2=45度，即∠CDE=∠1+∠2=60+45=105度
　　故选A
　　【点评】熟练掌握平行线的条件和特征，并能灵活运用是求解本题的关键，充分运用条件，及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提。对于两条平行线间＂折线＂与＂拐角＂问题，一般是在拐点处作平行线，从而构造出一些相等的角或互补的角，将问题转化。