小升初数学鸡兔同笼问题四种类型用假设法

　　我国古代数学著作《孙子算经》共三卷，成书大约在公元 5 世纪。这本书浅
　　显易槿，有许多有趣的算术题，比如＂鸡兔同笼＂问题。
　　解答鸡兔同笼问题，常常通过假设。
　　当问题里有两个或两个以上的未知数量时，可以假设要求的两个或两个以上
　　的末知量相等，或假没它们为同一种量，然后按照题中的已知条件进行推算，如
　　果数量上出现矛盾，可以适当加以调整，求出正确答案。像这样的思考方法称为
　　假没法。
　　 一、基本知识点
　　1、含义
　　鸡兔同笼是古典的算术问题，也叫作龟鹤问题、牛顿问题、置换问题。已知
　　鸡、兔的总头数和总脚数，求鸡、兔各有多少只的应用题，叫做第一鸡兔同笼问
　　题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔
　　同笼问题。
　　2、类型
　　（1）已知鸡兔总头数和总脚数，求鸡、兔各多少只；
　　（2）已知鸡兔总头数和鸡兔脚数的差，求鸡、兔各多少只；
　　（3）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少只）；
　　（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）。
　　3、数量关系
　　（1）类型 1 已知鸡兔总头数和总脚数，求鸡、兔各多少只
　　①假设全都是鸡，
　　兔数＝（实际总脚数－每只鸡脚数×鸡兔头总数）÷（每只兔脚数－每只鸡脚数）
　　鸡数=鸡兔总数-兔数
　　②假设全都是兔，
　　鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔头总数－实际总脚数）÷（每只兔脚数－每只鸡脚数）
　　兔数=鸡兔总数-鸡数
　　（2）类型 2 已知鸡兔总头数和鸡兔脚数的差，求鸡、兔各多少只
　　①鸡的总脚数比兔的总脚数多
　　A、假设全是鸡
　　兔数＝（每只鸡脚数×鸡兔头总数－实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
　　鸡数=鸡兔总数-兔数
　　B、假设全都是兔
　　鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔头总数＋实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
　　兔数=鸡兔总数-鸡数
　　②兔的总脚数比鸡的总脚数多
　　A、假设全是鸡
　　兔数＝（每只鸡脚数×鸡兔头总数+实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
　　鸡数=鸡兔总数-兔数
　　B、假设全都是兔
　　鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔头总数-实际脚数差）÷（每只兔脚数+每只鸡脚数）
　　兔数=鸡兔总数-鸡数
　　（3）类型 3 鸡兔互换问题
　　鸡数=[两次总脚数和÷每只鸡兔脚数和+两次总脚数差÷每只鸡兔脚数差]÷2
　　兔数=[两次总脚数和÷每只鸡兔脚数和-两次总脚数差÷每只鸡兔脚数差]÷2
　　（4）类型 4 得失问题
　　①假设全是合格产品
　　不合格产品数=（每个合格产品的分数×产品总数-实际总得分数）÷（每只
　　合格产品得分数+每只不合格产品扣分数）
　　合格产品数=产品总数-不合格产品数
　　②假设全是不合格品
　　合格产品数=（每个不合格产品扣分数×产品总数+实际总得分数）÷（每只
　　合格产品得分数+每只不合格产品扣分数）
　　不合格产品数=产品总数-合格产品数
　　4、解题思路
　　解答此类题目一般都用假设法或置换法，可以先假设全是同一种动物鸡（也
　　可以假设全是兔）。如果先假设都是鸡，即用鸡置换兔，再根据鸡兔总头数算出
　　在假设情况下的总脚数，用实际总脚数减去这个假设情况下的总脚数，就是假设
　　情况下多出的总脚数。实际上每有 1 只兔就少 1 只鸡，总脚数就会比假设情况下
　　多（每只兔脚数－每只鸡脚数）。所以只要求出在假设情况下，多出的脚数种有
　　多少个（每只兔脚数－每只鸡脚数），就可以推算出兔的只数。如果先假设都是
　　兔，然后以兔置换鸡。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得
　　到解决。
　　5、口诀记忆
　　假设全是鸡，假设全是兔，
　　多了几只脚，少了几只足，
　　除以脚的差，便是鸡兔数。
　　 二、一张思维导图归纳总结
　　 三、经典应用
　　例 1、鸡兔共 8 只，共有 22 条腿，鸡育多少只，兔有多少只？
　　【解答】我们用枚举的方法，假设鸡 8 只、兔 0 只，一共 2×8=16（条）腿；
　　鸡 7 只、免 1 只 1×2+1×4=18（条）腿；鸡 6 只、兔 2 只，一共 6×22×420（条）
　　腿；鸡 5 只、免只，一共 5×2+3×4=22（条）腿„„直到满足答案为止。如下
　　表：
　　答：鸡有 5 只，兔有 3 只。
　　【反思】答鸡兔同笼问题，当数据较小时我们可以根据＂鸡兔头＂的总数，
　　逐一按顺序列举出来，从中找到正确的答案。
　　当数据较大时，我们可以先猜测＂鸡、兔＂各有几只，算出＂腿数＂进行列
　　表，列出几种况，再逐步调整到符合题目要求的情况。
　　例 2、笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有 8 个头，从下面数，有 26 条
　　腿，鸡和兔各有几只？
　　【解法 1】假设都是鸡：先在纸上画 8 个圈，代表 8 个头，然后在每个圈上
　　画 2 条竖线，代表 2 条腿，一共画了 16 条腿，如下图：
　　再在 5 个圈上画 2 条竖线，这样一共是 26 条腿，所以，有 5 只兔，3 只鸡。
　　【解法 2】假设都是免：先在纸上画 8 个圈，代表 8 个头，然后在每个圈上
　　画 4 条竖线，代表 4 条腿，一共画了 32 条腿。
　　再在 3 个圈上画掉 2 条竖线，这样一共是 26 条腿。所以，有 5 只免，3 只
　　鸡。
　　验证：5+3=8（只）；5×4+3×2=26（条）
　　答：鸡有 3 只，兔有 5 只。
　　【反思】这两种画图方法都是采用假设的方法，全假设成鸡或全假设成兔，
　　腿数和实际相比不够就要添上，多了就要去掉。
　　例 3、在同一笼子里，有若千只鸡和兔，从笼子上看有 35 个头，从笼子下
　　数有 94 只脚。那么，这个笼子里有兔、鸡各多少只？
　　【分析】假设 35 个头都是鸡，由于每只鸡有 2 只脚，所以共有脚 2×35=70
　　（只）。
　　但题设为 94 只脚，少了 94-70=24（只）脚。
　　原因是每个兔子当作鸡，要少算 2 只脚，因此少了 24只脚是因为将 24÷2=12
　　只兔子当作鸡的结果。
　　因此兔子有 12 只，鸡有 35-12=23 只。
　　【解法 1】假设全是鸡。
　　兔子：（94-2×35）÷（4-2）=12（只）
　　鸡： 35-12=23（只）
　　【分析】假设 35 个头都是兔子的，由于每只兔 4 只脚，所以共 4×35=140
　　（只）脚，但题设只有 94 只脚。多了 140-94=46（只）脚。原因是每个鸡当作
　　兔子要多算 2 只脚，因比多的 46 只脚是因为将 46÷2=23 只鸡当作兔子的结果，
　　因此鸡 23 只，兔 35-23=12（只）。
　　【解法 2】鸡：（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
　　兔：35-23=12（只）
　　【解法 3】假设这笼子中的鸡都是＂金鸡独立＂的＂单脚鸡＂，兔子都是前
　　脚抱着大萝卜的兔＂，则共有 35 个头，94÷2=47（只）脚，由于每只＂双脚兔＂
　　比＂单脚鸡＂多一只脚，所以有兔 47-35=12（只）鸡
　　【解法 4】假设每只动物都砍掉 2 条腿，则共砍掉 2×35=70（条）腿，还剩
　　94-70=24条腿。这些腿都是兔子的腿，每只兔还剩 2条腿，所以共有兔子24÷2=12
　　（只），鸡 35-12=23（只）
　　【解法 5】如图，AB 代表鸡、兔头数 35 个。
　　ABCD 代表免子的总脚数；
　　DEFG 代表鸡的总脚数；
　　ABEFGC 代表鸡、兔的总脚数 94 只。右上角补上一块长方形 EFHB，构成大长
　　方形 ACGH。其面积为4×35=140，因此补上的一块 ACGH的面积等于4×35-94=46。
　　要求鸡的头数 DG=EF，而 FH=4-2=2,所以，鸡的头数 46÷（4-2）=23。兔的头数
　　=35-23=12
　　综合列式：鸡:（4×35-94）÷（4-2）=23（只）
　　兔：35-23-12（只）
　　答：这个笼子里有兔 12 只，鸡 23 只。
　　【反思】我们可以得到解决鸡兔同笼问题的基本关系式：
　　鸡数=（每只免脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只免脚数-每只鸡脚数）
　　兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数
　　【注意】这两个基本关系式不必都用，用其中一个算出鸡数或兔数，又知
　　总数，所以另一个也就知道了。
　　我们还可以看出，如果假设全是鸡，那么先求出来的就是兔子；如果假设
　　全是兔子，那么先求出来的就是鸡。
　　例 4、有一首中国民逕：＂一队猎手一队狗，二队并着一队走，数头一共三
　　百六，数脚一共八百九。＂这首民实际上是一道面用题，可有多少猎手？多少狗？
　　【分析】假设全是猎手，就有 360×2=720（只）脚，实际有脚 890 只，因
　　为每只狗少算 2 只脚，因此用 890 与 720 的差去除以 2，就能算出有多少条狗。
　　【解答】狗的条数：（890-720）÷（4-2）=85（条）
　　人数： 360-85=275（人）
　　答：狗有 85 条，猎手有 275 人。
　　例 5、同学们举行知识竞赛，答对一题将得 10 分，答错一题扣 6 分。1 号选
　　手共抢答 12 题，最后得分 72 分。他答错了几题？
　　【分析】假设该同学全答对，就能得 10×12=120（分），与实际得分 72 分
　　相比较，相差 120-72=48（分），一道对题和一道错题相差 10+6=16（分），然后
　　在 48 分里算一算有多少道错题。
　　【解答】错题数：（10×12-72）÷（10+6）=3（题）
　　答：他答错了 3 题。
　　例 6、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共 18 只，有同腿 118 条，翅膀 20 对（蜘
　　蛛 8 条腿；蜻蜓 6 条腿，2 翅膀；蝉 6 条腿，1 对翅膀），问蜻蜓有多少只？
　　【分析】这道题可用双假设法来解，先把 6 条腿的蜻蜓和蝉看成是一种动物，
　　假设会是 6 条腿的昆虫，然后假设全是蝉。
　　【解答】蜘蛛：（118-18×6）÷（8-6）=5（只）
　　蝉和蜻蜓：18-5=13（只）
　　蜻蜓：（20-13×1）÷（2-1）=7（只）
　　答：蜻蜒有 7 只。
　　例 7、鸡与兔共有 100 只，鸡的脚比兔的脚多 80 只，鸡与兔各有多少只？
　　【分析】这道题没有给出鸡兔脚数的总和，而是给出了它们脚数的差，属于
　　第二鸡兔同笼问题。假设 100 只全是鸡，那么脚的总数是 2×100=200 只，这时
　　兔的脚数为 0，鸡脚比免脚多 200 只，而实际上鸡脚比兔脚多 80 只。因此，鸡
　　脚与兔脚的差数比已知多了 200-80=120 只，这是因为把其中的兔换成了鸡。每
　　把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加 2 只，兔的脚数将减少 2 只。那么鸡脚与兔脚
　　的差数增加 2+4=6（只），所以换成的兔子有 120÷6=20 只，有鸡 100-20=80 只。
　　【解答】兔子的只数：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）
　　鸡的只数： 100-20=80（只）
　　答：鸡有 80 只，兔有 20 只。