快生活 - 生活常识大全

阿氏圆应用方法题目汇总阿波罗尼斯圆


  本文收录于:公众号底部菜单
  说起阿氏圆,很多老师都不陌生了,之前写过一些文,画过一些图,录过一些视频,今天就来汇总一下阿氏圆的应用题型!
  我们还是先从新介绍一下阿氏圆,全称阿波罗尼斯圆,首先要有一个线段,端点为AB,到AB两点的距离之比为定值(不为1,为1那不就是中垂线吗)的所有点组成阿氏圆,这个轨迹最先由阿波罗尼斯发现故名之。
  看下图:
  下文为方便称呼,称AB这样的线段为阿圆的线段,称圆为线段的阿圆
  这个圆就是到AB距离比值为1:2的阿圆,用初中的知识解释就是存在恒成立的子母性相似!
  注意小细节:
  1.阿圆圆心与AB共线
  2.到哪个点近,阿圆圆心就在哪一侧,
  3.圆心绝不会在线段AB内
  (往期精彩点击)
  (交互式)阿圆子母相似模型
  记住子母相似的独特线段比值,共有线段平方等于另两线段积。
  既然比值为定值,因此阿圆在问题中最常用到的就是转化线段(倍数关系)。
  除了倍数关系之外,阿圆还有一个不太为人知的性质,恒有角平分线EF。
  这一点可以通过第二性质的逆证明!
  刚说了阿圆最长用于,线段转化(倍数)。学习任何模型,首先我们要学会识别模型,也就是这个模型有什么特点,阿圆问题(转化线段类)的特点:
  1.题中有一个圆(就是阿圆),圆上有一个动点
  2.此动点到两个点的距离,其中一段加权(加系数)
  3.被转化的线段的端点(非动点),就是阿圆线段的一个端点,关键就是找到阿圆线段的另一个端点。即可完成转化。
  一般这样的题就是用阿圆做,阿圆做不了基本初中也就没法做了!
  当然两个线段都有系数,是可以转化为仅一个带系数的。一个带系数也可以转化为另一个带系数的。方法就是提公因式法,提系数。
  应用题一:
  本题还有一种方法:
  (往期精彩)
  加权的线段差最值问题
  看题:
  这题就是加权线段差,熟悉最值问题其实思路不难想,我们之前做过加权线段和的几个模型:
  (点击下面查看)
  胡不归(乌鸦坐飞机)问题与折射原理光行最速。
  阿波罗尼斯圆介绍以及与角平分线
  交互式探究!动图图解三角形费马点加权费马点问题
  费马点/胡不归?都可以做的一道题
  加权线段和一般有胡不归(三角比转化系数),阿氏圆(相似转化系数),加权费马点(固定三角形转化系数)。所以基本就是这几种转化方向!先看方法一,图里有圆,自然联想阿氏圆!! 使用阿氏圆转化比值:
  方法一:
  想办法让这个圆成为阿氏圆,以圆心为顶点构造子母相似即可!
  EA中点为F,蓝蓝相似,这样构造圆就是线段FB的阿氏圆,圆上任意一点到FB距离比为1:2.
  再构造一个:
  AG=二分之根2,红红相似,圆就是CG的阿氏圆,圆上任意一点到CG的距离比都是???
  然后线段都转化到了PG,PF,利用三边关系,共线得最大值!
  应用题二:
  系数在PD,但是不一定必须转化PD,因为转化出根2 PD需要找到一点E,P到点E距离是到D距离的根2倍,也就是动点到D近一些,到E远一些,看图中的圆的位置这是不可能的!
  那就转化PC,要找到阿圆线段的另一个端点一定在OC上,该点命名为M,则OM方=OP乘OC,易得OM长,M的位置确定了,剩下就好说了!
  应用题3:
  有了前两题的铺垫,这题就不细说了,大家自己试试吧!
  就直接转化PB:
  应用题四:
  这是一个证明,也算一个模型:
  也就是产生了阿圆,利用了角平分线的结论
  这个模型怎么记呢,就是,圆中做任意弦,做其垂径,过弦端点切线,切线与径交点,这个交点和垂径垂足连成此圆的阿圆线段。(看关键词)
  应用题五:
  这是2017哈尔滨中考真题:
  (点击详情)
  中考真的不考阿波罗尼奥斯圆吗?2017哈中考题26,隐形的阿氏圆
  只看第三问,隐隐的用到阿圆,也可以不用,正式考试超纲知识不会直接考但是可以架梯子,含沙射影的考。
  求MP:MQ,又知道MQ=6DP,那MP:MQ=MP:6DP,只需求出MP:DP即可。
  这模型像不像刚才的应用题四?
  显然就是!
  PM:PD=阿圆比值=BM:BD
  应用题六:
  前边都是有圆的题目,其实没有圆也有机会用到阿圆。
  这个找角平分线就是利用阿圆的平分线性质!
  点D怎么来的,也是通过计算得到的:
  利用侧边的相似比,计算方法不唯一哦!
  应用题七:
  这题也是没出现圆,而是阿圆的特例
  (精彩点击)
  圆的各种进阶模型,肯定有你没听说过的。
  相似三角形的经典模型上
  相似经典模型下,多图慎入(稀奇古怪)
  如下图,求角GDE。(是一道哈题稍微改了改,原题的x是18度)
  这种问法显然,根据条件里没有角度,只能是瞎猜,所求的角一定是跟已知角存在等量关系,这道题就是相等。
  如图可看出,三个标出的角度相等。
  怎么证明呢。这里用到相似,因为相似有对应角相等。而且是利用相似倒相似(其实就是用已知的相似比倒相似比),不是 常见的凑角条件。
  由双垂模型得一个相似。
  再用这组相似比倒比,结合两个中点的定义,则得到下面的相似。怎么倒呢?(略)
  由这组相似得角相等,得AG垂直BE。
  由这个新 的垂直可得又一个双垂模型,得如下图相似。
  接下来就是利用阿圆特例,中点子母连环双相似模型。原来(几何模型第十九期)是画过的。如下图。两边的相似可以互推。
  点击查看完整相似模型:相似经典(稀奇古怪)模型下,多图慎入
  注意两边相似都是以中点为公共角顶点的子母型相似。
  其实这个模型是阿圆的一个特例,中点D就是阿圆的圆心,AE为对应线段,EC/AC=EB/AB.
  把这个模型弄明白之后就易得:新相似如下图
  这样一来三个三角形相似,三个对应角自然相等了?如下图:
网站目录投稿:幼旋