科普下重心是什么的交点有什么性质三角形重心定义及性质证明

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　　重心是三角形三边中线的交点重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
　　三角形重心定义及性质证明
　　三角形重心是三角形三中线的交点当几何体为匀质物体且重力场均匀时重心与该形中心重合
　　证明一
　　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
　　例：已知：△ABCE、F是ABAC的中点EC、FB交于G
　　求证：EG=1/2CG
　　证明：过E作EH∥BF交AC于H
　　∵AE=BEEH//BF
　　∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)
　　又∵ AF=CF
　　∴HF=1/2CF
　　∴HF:CF=1/2
　　∵EH∥BF
　　∴EG:CG=HF:CF=1/2
　　∴EG=1/2CG
　　方法二 连接EF
　　利用三角形相似
　　求证：EG=1/2CG 即证明EF=1/2BC
　　利用中位线可证明EF=1/2BC利用中位线可证明EF=1/2BC
　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
　　证明方法：
　　在△ABC内三边为abc点O是该三角形的重心AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知：
　　OA'=1/3AA'
　　OB'=1/3BB'
　　OC'=1/3CC'
　　过OA分别作a边上高OH'AH
　　可知OH'=1/3AH
　　则S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC
　　同理可证S△AOC=1/3S△ABC
　　S△AOB=1/3S△ABC
　　所以S△BOC=S△AOC=S△AOB

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