科普下数学最难的领域是哪个数学的分类有哪些

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　　每个阶段当然就有所不同小学乘法难中学多元多次方程难高中是几何函数、导数、圆锥曲线立体几何或是排列组合大学积分、微分、卷积难研究生理论都需要推导
　　数学的分类有哪些
　　1分析：包括数学分析实变函数泛函分析复分析调和分析傅里叶分析常微分方程偏微分方程等;2数论：包括初等数论代数数论解析数论数的几何丢番图逼近论模形式等;
　　3代数：初等代数高等代数近世(或抽象)代数交换代数同调代数李代数等;
　　4几何：初等几何高等几何解析几何微分几何黎曼几何张量分析拓扑学等;
　　5应用数学：这里面的分支太多了例如概率统计数值分析运筹学排队论等
　　数学中最复杂的领域
　　一个正方形有旋转90度的倍数的对称性和沿4条不同的反射轴反射的对称性数学家把这种对称性抽象出来构建了一种抽象的数学结构叫做 群正方形对应的即是8阶的二面体群
　　不同的群之间有所谓的群同态(你可以理解成一种保持结构的映射)把所有的群放在一起连同他们之间所有可能的同态构成了一个新的结构叫做 范畴
　　群本身是一种抽象的数学结构但数学家们却开始研究“结构的结构”他们把一类数学结构本身作为对象来研究这些对象构成的新的结构这种思路也是一种非常有趣的思路就是以抽象的事物为基石去构造“抽象之上的更抽象”我认为是数学、理论计算机科学、逻辑学、分析哲学独有的一种抽象思维
　　范畴和范畴之间又可以定义函子函子和函子之间可以定义自然变换关于函子、自然变换有一个非常有名的定理又被认为是范畴论中第一个有实质内容的定理即所谓的Yoneda lemma
　　范畴是20世纪上半叶搞出的结构来源于代数拓扑和同调代数;新世纪的数学又有所谓的“无穷范畴”——比普通的范畴论在复杂度抽象性方面又高了好几个层次;限于水平我就不胡说八道误导大家了这个只有专门做higher algebra这一块的人可以讲清楚但可以肯定只有熟悉范畴论基础知识的人才能继续学习无穷范畴
　　其实也不一定非得在代数学的领域才能出现这种抽象结构即使在微分几何这种相对具体的领域我也可以考虑两个流形之间的光滑映射全体这也是一个新的流形当然是无穷维的但是考虑他的一个子集比如紧黎曼流形的等距映射全体这就成了一个紧流形、紧李群对学数学的人来说引进这样的事物是非常自然的事情但是对学自然科学或者实验学科的人来说这种思维其实已经比较抽象比如我有学物理的同学他可以理解SO(3)是3阶正交矩阵全体但是他很难把SO(3)当成一个抽象的群来考虑他永远需要通过具体矩阵元的方式来理解矩阵群而不是通过群运算群结构本身来认识一个抽象的群大部分普通人还是需要经过系统的训练才能慢慢培养抽象的数学思维的所以非科班的数学爱好者也不必操之过急不要一开始就来刚 无穷范畴先从“本科级别的抽象”来慢慢做起