三角形全等的判定(全等三角形的判定公理)
三角形全等的判定(全等三角形的判定公理)
提要
全等是用于证明线段相等,角相等的重要方法,是今后证明几何问题的重要工具。在证明三角形全等时应先找出已知条件和图形中的隐含条件,再结合全等的判定方法确定需要转化得到的条件,同时要注意"SSA"不能证明两个三角形全等。
知识全解
一.全等三角形的定义和性质
(1)定义:能够完全重合的两个三角形称为全等三角形
(2)性质:全等三角形的对应边,对应角相等。
提示:
(1)记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
(2)对应边和对应角的确定通常有以下几种方法
① 全等三角形对应相等的角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边
② 全等三角形对应相等的边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角
③ 两个全等三角形有公共边的,公共边一定是对应边
④ 两个全等三角形有公共角的,公共角一定是对应角
⑤ 两个全等三角形有对顶角的,对顶角一定是对应角
⑥ 两个全等三角形中一对最长的边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或角)
二.全等三角形的判定
(1)SSS:三边对应相等的两个三角形全等
(2)SAS:两边夹角对应相等的两个三角形全等
(3)ASA:两角夹边对应相等的两个三角形全等
(4)AAS:两角一对边对应相等的两个三角形全等
(5)HL:斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等
提示:
(1)"SSA"不能证明三角形全等
(2)从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)去迅速准确地确定要补充地边(角),有目标地完善三角形全等的条件。从而得到判定两个三角形全等的思路有以下几种
方法点拨
类型1 根据性质计算
例1 如下图,△ABC≌△ADE,∠EAB=125度,求∠BFD的度数
【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD=∠CAB,∠B=∠D,求出∠EAC=∠DAB=50度,根据三角形内角和定理求出∠BFD=∠DAB,带入求出即可
【解答】∵∠ABC≌△ADE
∴∠EAD=∠CAB,∠B=∠D
∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD
∴∠EAC=∠DAB
∵∠EAB=125度,∠CAD=25度
∴∠DAB=∠EAC=1/2 × (125-25)=50度
∵∠B=∠D,∠FGD=∠BGA,∠D+∠BFD+∠FGD=180度,∠B+∠DAB+∠AGB=180度
∴∠BFD=∠DAB=50度
【点评】本题考查了全等三角形的性质,三角形内角和定理的应用,能根据全等三角形的性质求出∠EAD=∠CAB,∠B=∠D是解此题的关键。
类型2 探索三角形全等的条件
例2 如下图,AC,BD相交于点O,∠A=∠D,请补充一个条件,使∠AOB≌∠DOC,你补充的条件是___(填出一个条件即可)
【分析】要使△AOB≌△DOC,已有条件∠A=∠D,隐含条件∠AOB∠=COD,不可能再找角相等,只要找三条边中的任意一条即可,故本题答案不唯一,如AB=CD,OA=OD或OB=OC。
【解答】答案不唯一,如AB=CD,OA=OD或OB=OC。
【点评】这是一道开放性试题,处理这类问题的一般思路是先找出已知条件,再根据结论的需要加以分析,补充所需的条件,答案往往不唯一。
类型3 证明三角形全等
例3 如图所示,已知∠ACB=90度,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CD于点D,CE与AB相交于点F,求证:△CEB≌△ADC
【分析】首先根据垂直定义可得∠E=∠ADC=90度,再根据余角的性质可得∠BCE=∠CAD,然后利用AAS定理判定△CEB≌△ADC即可
【解答】∵BE⊥CE于点E,AD⊥CD于点D
∴∠E=∠ADC=90度
∵ACB=90度
∴∠BCE=90-∠ACD
又∠CAD=90-∠ACD
∴∠BCE=∠CAD
在△CEB与△ADC中
∠E=∠ADC
∠BCE=∠CAD
BC=CA
∴△CEB≌△ADC (AAS)
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定,判定两个三角形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后根据三角形全等的判定方法,查看缺什么条件,再去证明该条件。
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