log是什么(高一数学log讲解视频)
3点的故事:如何理解对数?
[x]意思为不超过x的最大整数,所以这个数的重点是In50,以e为底,50的对数。
1
什么是对数?
故事还是要从计算说起,3×7等于多少呢?从乘法定义来看,乘法是加法的升级版,3 3 3 3 3 3 3=3×7=21或者7 7 7=7×3=21,当有多个相同加数相加的时候,我们构造出了一种新的算法:乘法。
所以不管三七二十一就写个21,之所以能够直接得到这个结果,因为我们在构造乘法这种运算的同时也构造出了其简便算法,即:
九九乘法表!
这个对于我们来说倒着背也能像流水一样流畅,所以对于乘法来说,我们是预先根据加法结果制定好了一个乘法表,然后遇到计算参照表上的数据得到结果。
乘法是加法的加法,乘方是乘法的乘法,当我们的计算更高级点,也意味着难度更大了些,通常会记
这样n个a相乘的运算叫做乘方,其中a叫做底数,n叫做指数,乘方的结果叫做幂。
乘方的逆运算是什么?开方嘛,若
,逆运算就是
,就好比加法的逆运算是减法,乘法的逆运算是除法一样,一个计算可以从左向右,反之从右向左也会存在。
但乘方有一点不同,我们来看加法:2 3=5,2和3都叫做加数,2×3=6,这里的2和3都叫做乘数,但像2³=8,这里的2叫做底数,3叫做指数,我们可以反过来求底数,这便是我们刚刚所说的开方。
也可以反过来求指数,这就是我们今天要说的:对数!
对数就是已知底数和幂求指数的运算,这个运算符号我们用log表示,英国数学家约翰·纳皮尔从两个希腊文单词Logos(比)和arithmos(数)构造出了logarithm(对数)这个复合词,log是前三个字母。
根据
指数形式
,其中a叫做底数,b叫做真数,n称为以a为底,b的对数。
所以从运算的角度来看,对数源于指数,但在历史长河中,对数却比指数更早浮出水面。
2
纳皮尔与对数
16、17世纪,随着天文、航海的蓬勃发展,庞大数字的计算称为一大天文、航海学家的一大难题,在那个没有电子计算器的年代,这个工作简直是要人命啊!于是如何简化计算、提高计算的效率成为当务之急,在这个兼顾时代发展与历史使命的召唤下,对数诞生了!
从1594年开始,纳皮尔用了整整20年的时间研究对数的运算,终于在1614年出版了《神奇对数表的描述》,给出了对数的定义、性质和应用,并且创造出"对数"这一术语。
在纳皮尔的对数系统里,他选择0.9999999作为底数,这和我们今天常用的对数不太一样,所以以0.9999999为底数的对数也称为"纳皮尔对数"。
除此之外,以e为底数的对数称为"自然对数",并且为了方便数学,赋予其一个专属符号:ln。在纳皮尔发表对数不久,牛津大学教授布里格斯提出以10为底数,会更适合做计算,以10为底数的对数也称为"常用对数",用符号"lg"表示。
那指数呢?在对数发表20多年后,才由笛卡尔确定指数符号,到了18世纪,欧拉发现了指数与对数的互逆关系,首次使用指数
来定义对数
。
明明是指数的逆运算,却先于指数出现,听起来确实有那么点神奇,但对数发明的初衷并不是作为指数运算的逆运算,而是我们要用对数简化计算,这样也就不奇怪了。
3
如何用对数计算?
观察两列数:
(1)0,1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10……
(2)1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024……
不难发现,第一列数是等差数列,第二列数是等比数列,接下来按照顺序在这两列数之间建立起一一对应的关系。
如果取第二列中两个数作乘法,比如取第2位数2和第4位数8,相乘结果会等于第5位数16。同样,取第一列中两个数作加法,比如取第2位数1和第4位数3,相加结果会等于第5位数4。
选取作运算的数顺序是一致的,则结果对应的数顺序也是一致的,而且,只要选择好两列恰当的数,那么这个规律是普遍性的!
所以在乘法和加法之间也会存在一种对应关系,利用这层关系可以将乘法运算转化为加法运算!
这便是对数思想的萌芽,我们可以理解第(1)列中的数均为第(2)列中的数的对数,把数的乘法计算转化为其对数的加法计算,从而,简化了计算!
比如计算16×64,先找一下16对应的第(1)列中的数是4,64对应的第一列中的数是6,4 6=10,所以16×64的结果就是第(2)列中与10对应的数,即1024。如果这个数列能一直写下去,我们就能利用加法快速算出两个超大数乘积的结果!
当然如果对数字熟悉的话,很容易就看出来,其实第(2)列数就是第(1)列数2的n次幂,那么由指数运算的规则
很容易看破上面的推理.
16是2^4,64是2^6,所以
,通过指数的运算法则可以推出对数的运算:
用指数的形式来解释计算其实还不够直白,换用对数来来重新阐述上述的计算过程,我们要计算16×64,先取各16的对数,以2位底数,即:
再取64的对数有
其乘积结果的对数为
于是16×64的结果就是2^10,在这个计算中,真正涉及到计算一步仅仅是4 6=10,多么妙的方法呵!
或许我们很难运用这种转化的妙处,但是在那么尚不知指数为何物的年代里,竟有如此穿越时空的想象力,不得不感叹智慧的力量真是无穷无尽。
我们用乘法来简化加法计算,而如今,我们将再次用加法来简化乘法计算,兜兜转转又回到原点,似乎是冥冥之中自有天意!
上述例子是以2位底数,而在实际应用中,更普遍地是以10为底数的对数,即我们所说的常用对数。在计算一些较大数的时候,可以先把它转化为以10为底的对数,利用对数规则运算,最后再把结果还原即可。
但好像还有点问题,比如计算520×1314,我怎么知道520和1314的常用对数是多少呢?我们能想到的问题先人们早已给出了解决方案,正如乘法一样,我们怎么知道的3×7的结果?因为有九九乘法表呀!
所以对数呢?也可以列个对数表撒!
4
布里格斯与对数表
在纳皮尔发表对数的同时,也给出了一份长达200页的对数表,这一过程,他花了大概20年的时间。几乎在同一时间,另一位数学家比尔吉花了8年时间造出了以e为底的四位自然对数表。
而这里的主角,亨利·布里格斯,在1617年制作出1-1000的14位常用对数表,也是这一年,对数之父纳皮尔永远告别了他挚爱的对数。
1624年,在《对数算术》中,布里格斯把对数表扩大到了包括从1-20000和从90000-100000的常用对数表,还是精确到了14位,利用这样的对数表,可以精确计算出我们想要的结果。中间缺空的20000-90000的对数表在弗拉克的帮助下于1628年制作完成。
(对数表)
有这样一份功能强大的表,遇到较大数字的计算,取对数、查表、得结果,轻轻松松搞定计算,因此,对数的发明也被称为延续了天文学家们的寿命!
从1594年纳皮尔开始对对数的思考,直到1628年常用对数表的完善,历时30多年,终于开发出对数这一计算的工具,在此后的300多年时间里,对数都发挥着重要的作用,直到20世纪70年代,电子计算器的出现,对数才逐渐淡出计算的视野,完成了其使命后退出了历史舞台。
(对数尺)
虽然哥已退出江湖好多年,但江湖上一直流传着哥的传说!
谢谢阅读。
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