方程 一、等式: 1、概念:表示相等关系的式子叫做等式(即含有等号的式子)。 2、性质:(1)等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式; (2)等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数,所得结果仍然是等式。 3、等式与方程的关系:方程一定是等式,等式不一定是方程。等式范围﹥方程范围 二、方程: 1、定义:含有未知数的等式是方程。 2、解方程:求方程中未知数的过程,叫做解方程("解")。 注意:(1)解完方程,要记得检验 (2)方程的解: 3、列方程解应用题:("解""设") (一)一般步骤(1)审题,找出关键信息; (2)根据关键信息找数量关系; (3)根据数量关系列方程解答; (4)把结果看作已知信息进行检验。 (二)主要依据 (1)常见的数量关系:单价×数量=总价 速度×时间-路程(可利用线段图找到等量关系然后解题。) 工作效率×工作时间=工作总量 (2)平面图形计算公式:正方形周长=边长×4; 正方形面积=边长×边长 长方形周长=(长 宽)×2; 长方形面积=长×宽 平行四边形周长=(长 宽)×2;平行四边形面积=底×高 三角形面积=底×高÷2;梯形面积=(上底 下底)×高÷2 (3)几倍多(少)几的问题:先确认一倍量是已知还是未知,若未知,顺着 一倍量×几倍 多(少)=比较量,这一关系式列方程解答比较容易。和(差)倍的问题:一般设"1份"(或一倍量)为x,另一个是它的几倍 就为 "几"x,再根据其加减关系(和或差)列出方程。注意(1)解方程要写"解"; (2)列方程解应用题要写"解""设" (3)三个连续自然数(或连续奇数、连续偶数)的和,等于中间数的3倍。 折线统计图 分类:单式折线统计图(优点:便于观察数量的多少及事物的增减变化情况。) 复式折线统计图(优点:便于观察两组数据的大小关系及数据的增减变化情况。) 画法:描点、标数据、连线、写日期 因数与倍数 一、定义: 概念:在整数除法中,如果商是整数且没有余数,我们就说被除数是除数和商的倍数,除数和商是被除数的因数。 定义:如2×5=10,称5和5都是10的因数,10是2的倍数,也是5的倍数。 注意: (1)因数与倍数互相依存,不能说10是倍数,5是因数; (2)为了方便,我们在研究因数与倍数的关系的时候,所说的数指的是自然数(一般不包括0) (3)找一个数的因数的方法是:列除法算式或乘法算式找;(从小到大) (4)一个数的因数的个数是有限的,最小因数是1,最大因数是它本身; (5)找一个数的倍数的方法:列乘法算式找;(从小到大枚举) (6)倍数的个数有无限个,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数 二、2、3、5的倍数 1、2的倍数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。 注意:是2的倍数的数叫做偶数,不是2的倍数的数叫做奇数。 0是最小的偶数 2、5的倍数的特征:个位数字是0、5的数都是5的倍数。 注意:个位数字是0的数既是2的倍数,又是5的倍数。 3、3的倍数的特征:各位上的数字和是3的倍数,那么这个数就是3的倍数。 注意:求要满足多个条件的倍数,先看2、5,后看3。 练习:有三个数字0、6、9,按要求组成两位数. 和与积的奇偶性 整数和与积的奇偶性 100以内的质数 思考:如果让你找出100以内的质数,你会如何一步一步缩小范围呢? 质数与合数 一、定义:质数:只有1和它本身两个因数,像这样的数就叫做质数。 {100以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97}如何判断一个数是否是质数:用试除法判断一个自然数a是不是质数,用从小到大的各个质数依次去除a,如果到某一个质数正好整除,这个a就可以断定不是质数;如果不能整除,则可以断定a必然是质数。合数:除了1和它本身还有别的因数,像这样的数就叫做合数。质因数:如果一个数的因数是质数,那么这个因数就是它的质因数。 注意:(1)1既不是质数,也不是合数;但它与任何整数都是互质数。 (2)2是最小的质数,2是唯一偶质数;(分清偶质数和奇质数的概念) (3)4是最小的合数; (4)5是唯一一个个位为5的质数; (5)100以内共25个质数,74个合数 (6)★两个不同的质数的和是奇数,其中一个质数一定是2(根据和的奇偶性来理解) (7)★两个不同的质数的和是偶数,这两个质数都是奇数 (8)三个不同的质数相加,和为偶数,这三个数一定是2和两个奇质数。 (9)10以内的质数个位只能是1、3、7、9 (10)绝对质数:一个两位质数,个位和十位交换后还是质数。 (例如:11、13、 31,17、71、37、73、79、97) 分解质因数:把一个合数分解成若干个质因数连续相乘的形式。 注意:(1)分解到因数全部为质数为止; (2)一个数分解质因数的结果是唯一的; (3)最终结果要写成用指数表示质因数相乘的形式 (2³,指数是3,表示3个2相乘) 2、方法:(1)逐次法(2)短除法 注意:(1)先把要分解的数写在短除号"∟"里; (2)从质数表中从小到大依次尝试,直到商是质数为止; (3)最后把每个除数与最后的商写成连乘的形式。 3、题型:已知乘积反求原数 (1)先把积分解质因数(2)用质因数凑因数 公因数 一、定义:公因数:几个数公共的因数,其中最大的一个称为最大公因数。 二、表示:通常,把两个数a,b的最大公因数记为(a,b),例如(12,8)=6 三、求最大公因数的方法: (一)短除法:用短除法求最大公因数,最后除到两个数互质为止,短除号左边的所有数相乘得最大公因数,短除式最后两个商一定要互质。 注意:(1)公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数。 (2)a和b是互质数,且a<b,则它们的最大公因数是 a,最小公倍数是a×b; 判断两数互质的方法: (1)两个不同质数一定是互质数; (2)相邻的两个自然数一定是互质数; (3)一个质数如果不能整除另一个合数,这两个数为互质数;例如3与10、5与26; (4)1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数在一起都是互质数。 (二)列举法:一般关系的两个数求最大公因数用该法 四、注意: (1)1为所有非零自然数的公因数。 (2)两个数的公因数都是它们最大公因数的因数; (3)倍数关系的两个数,最大公因数就是这两个数中较小的一个; (4)两个数是互质数,最大公因数是1; (5)一般已知被除数求除数,就是求公因数, 问至多是多少,就是求最大公因数(最多、最大) 公倍数 1、定义:几个数公共的倍数,其中最小的一个称为最小公倍数。 2、表示:a、b的最小公倍数记为[a、b] 3、注意: (1)两个数的公倍数就是它们最小公倍数的倍数; (2)倍数关系的两个数,最小公倍数就是这两个数中较大的一个。 (3)两个数是互质数,最小公倍数是这两个数的乘积。 (4)用短除法求最小公倍数,最后除到两个数互质为止。短除号外所有数相乘得最小公倍数。 (5)对于被除数未知的情况,一般是求公倍数。(最少、最小、至少) 分数的意义与性质定义:把单位"1"平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫作"分数"。表示其中 一份的数,叫作分数单位。、 单位"1":一个物体、一个计量单位、或一个整体性的群体等都可以用自然数1来表示,通常叫作单位"1"。("占"或"是"后面的通常是单位"1")分数表示两个同类数量的关系,或部分与整体的关系。分数后面有单位,表示具体的数量;没有单位,表示分率。分数与除法的关系:两个数相除也可以用分数表示。被除数相当于分子,除数相当于分母。a÷b= (b≠0) 除法与分数的关系 应用(1)求一个数是另一个数的几分之几,用除法计算。(用分数表示除法的商) 方法:"占"字前面的数除以后面的数写成分数。 (2)分数与小数的相互转化与比较 2、分类 (1)真分数:分子﹤分母的分数。 (2)假分数:分子≥分母的分数(包含带分数和1) 带分数:由非0整数和真分数合成的数,是假分数的另一种表示形式。 注意:(1) 带分数的分数部分都是真分数。 (2)比较大小:0﹤真分数﹤1≤假分数 ★带分数与假分数的互化 (1)假分数化带分数: 假分数化带分数 注意:余数为0时可以化为整数 (2)带分数化假分数 : 带分数化假分数 3、约分与通分 (一)依据:分数的基本性质:(类比除法中商不变的性质) 分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。 (同乘—扩分;同除—约分) (二)约分:把一个分数化成同它相等,且分子、分母都比较小的分数,叫作约分。 最简分数:分子、分母只有公因数1的分数叫作最简分数。 注意:约分时,通常要约成最简分数。 (将原分数分子和分母直接同时除以分子和分母的最大公因数) 过程: 约分过程 方法:设份法 (三)通分:把几个分母不同的分数(也叫作异分母分数)分别化成和原来分数相等的同 分母分数,叫作通分。 公分母:相同的分母叫作公分母。 注意:通分时,一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。 (四)应用—分数比较大小 (1)同分母异分子分数比较大小:分子大的分数比较大; (2)异分母分数比较大小:通分子:分子相同,分母小的分数比较大; 通分母:分母相同,分子大的分数比较大。注意:通分子一般适用于分母较大,且不易通分时。 四、分数与小数的互化: 1、分数化小数:用分数和除法的关系把分数写成除法算式,再计算,除不尽按要求保留小数。(用分子除以分母,将分数转化为除法算式,计算商;) 2、小数化分数:一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几…然后化简。(小数化为分数:数小数位数,一位小数,分母是10;两位小数,分母是100…) 注意:小数化分数后,能约分的要约成最简分数。 常见的分数与小数: 常见的分数化小数 分数的加法与减法 一、同分母分数加减法: 方法:分母不变,分子相加减。 注意:结果是最简分数 二、异分母分数加减法: 方法:先通分,再按照同分母分数加减法进行计算。 注意:结果一定要约分到最简分数。 三个或多个异分母分数相加、减:先通分两个分数,然后再通分第三个分数;也可以三个分数同时通分,与找两个分数的公分母的方法是一样的。带分数加、减法: 方法:带分数相加减,整数部分和分数部分分别相加减,再把所得结果合并起来。 分数基本性质的应用1 分数基本性质的应用2分数加减法混合运算分数加减法运算顺序:无括号时,按照从左向右的顺序计算;有括号时,先算括号内,再算括号外。分数简便运算: 原则:利用加减法运算定律进行简便计算(先找同分母分数,再用运算律。)利用加法交换律和结合律进行凑整巧算;(把分母相同的分数先进行加减法计算)整数、小数中去括号的规则在分数中同样适用。利用添、去括号巧算。利用连减性质凑整计算;(带符号搬家和连减性质)利用加法交换律和加法结合律进行分组凑整计算 4、分数与小数的混合运算:如果分数能化成有限小数,通常把分数化成小数计算较为简单;如果分数不能化成有限小数,应把小数化成分数再计算。 分数的应用 圆的认识 一、圆的概念 1、圆的定义: (1)在同一平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。这个定点叫做圆心。 (2)当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时,它的另一个端点的轨迹叫做圆。 2、圆的外形特点(或性质):圆是平面轴对称图形,对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线);圆是中心对称图形,其对称中心是圆心。圆由曲线组成,没有顶点。(其他多边形由线段组成,有顶点) 3、圆的画法: 画圆时,先设定好针尖与笔尖的距离(即圆的半径),针尖固定在一点(圆心O),转动笔尖转一圈即完成一个圆。 4、圆的组成: 圆的组成 5、圆的影响因素:定位:圆心大小或尺寸:半径或直径 6、圆的计算 圆的计算 常见的Π值周长的计算: (1)半圆的周长=圆周长的一半 直径 (2)不规则图形的周长:确定组成:先确定周长由几条曲线或线段组成;分解或组合:再通过分解或组合计算:应用圆的周长公式计算出结果。线捆等圆问题:周长的组成一定都包含一个圆。注意:几个等圆必须依次紧密捆在一起。 奥数内容面积的计算:已知半径或直径求面积:直接代入公式;已知周长求面积:先求出半径,再求面积;求扇形的面积:求出扇形所在圆的面积,再看扇形面积是圆面积的几分之几,从而求出扇形的面积。 圆的面积=圆的面积÷2 圆的面积÷4 圆的面积÷4×3不规则图形的面积:利用割补法,将图形拆分、重组,转化为规则图形求解。圆环、半圆环、扇环 圆环的相关面积公式求阴影部分面积:整体减空白求面积:割补法求面积 7、圆的相关概念 与圆相关的概念及计算