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最大的数字是多少(恐怖的数字)

  这是一个只有数学可以描述的世界,大到令人难以置信的数让这个世界没有偶然,但任何奇迹都可能发生:离开宇宙,与另一个自己擦身而过,遇见比无穷还要大的无穷。
  开始之前,先为大家简单介绍一下何谓大数。
  人们喜欢用简略方式记录重复的东西。比如,2×2×2×2(总共四个2)也可写成2^4(读作"二的四次方")。而2^20(即1048576),比起写成2×2×2×2……(二十个2)显然要简单得多!如果把2换成10,简写的优势就更明显了,因为我们只需要数数有几个0就可以了。比如,10×10就是100或10^2……
  换言之,上面的小数字(被称为"指数")表示1后面的0的个数。一百万,即1000000,可简单地写成10^6。
  10的乘方还可以简化运算。相乘时将指数相加,如:1000×1000000=10^3×10^6 =10^6 3=10^9(即十亿)。相除时将指数相减:1000000÷1000=10^6-3=10^3。因此在探索大数世界时,10的乘方不可或缺。
  它们无处不在,但我们却看不到
  在一个美丽的夜晚,抬头仰望星空……哇!今晚的星星好多,数都数不清。然而,在地球上用肉眼可以看见的星星仅仅只有8768颗而已。
  而且,我们通常只能看见其中的一半(其他的均在地平线以下)。这就意味着只要有足够的耐心,不到4000秒,即一个小时多一点,你就能数清所有这些星星!
  惊讶吗?这很正常。因为我们的大脑对大数并不怎么在行,当它说"大数"的时候,其实属于词语滥用。大脑能一眼看出的数量只有1、2、3和4。超过4,大脑就会死机并宣布"有很多"!如果桌上凌乱地放着五个苹果,几乎可以肯定的是,你将不得不一个一个地数,以弄清楚它们的数量。
  恼火吧?但事实就是如此。这就是骰子的最"大"点数"五"(4 1)和"六"(2×3)按现在方式排列的原因:便于一眼识别。
  这也是为什么在写(很)大数时,我们习惯于三个数字一组:数字1453214在你看来毫无意义,但如果写成1 453 214,你立刻知道这个数字是百万级。识别大数需要创意!
  你可以比较本页中所呈现的各个量。你会知道为什么在九宫棋游戏中获胜并不需要太多的智慧:在九格棋盘上,随意放×或○并获胜的概率并不小。相反,同样的策略在魔方游戏中不会很见效,因为魔方的变化要比九格棋盘的变化多得多。
  你也将明白为什么国际象棋冠军被认为是天才。很简单,因为他们在众多的可能中找到了通往胜利的路径……因为如果每次都有"很多"可能的路径,这些"很多"中的一些显然比其他拥有更大的可能!
  大数定律
  全人类质量仅占地球生物总质量的四千分之一,或地球总质量的十六万亿分之一。以太阳为起点,将50亿个地球排成直线,可抵达离太阳最近的恒星。然而,这个范围仅为整个银河系的十万分之一。
  而可见宇宙中(有数百亿亿个银河系那么大)类似银河系的星系有数百亿之多。天啊,为什么人类如此渺小?为什么宇宙中的一切都比我们要庞大得多?
  在回答上述问题之前,先来看看什么是偶然性。
  以抛硬币猜正反为例,如果抛的次数有限(不到20次),想猜对很难,如果抛的次数很多,想猜错却不容易。这就是数学家们所谓的"大数定律":如果抛1000次,可以肯定结果为正面和反面的次数将非常非常接近!
  把一枚没有动过手脚的硬币抛若干次,得到的"正面(F)"和"反面(P)"的数量会一样多吗?不一定。我们将所有可能性序列以树形图的形式呈现。
  结论:如果一个宇宙由完全随机运动的元素构成,要想预测这个宇宙的运行方式,除非它所涉及的元素有很多很多……
  但大数定律还有另一"面",称为李特尔伍德奇迹定理。
  这位英国数学家曾说过:"如果你每个月观察100万个事件,而奇迹指的是只有百万分之一的可能会发生的事件,那么你每个月都能等到奇迹发生。"说得通,不是吗?
  举个例子,在抛硬币猜正反时,接连抛出20个反面的概率只有百万分之一,但是,如果在一个200万人口的城市里,所有居民同时玩这个游戏,这样的奇迹就有97.8%的可能发生在某一个人身上!
  结论:大数不仅能使偶然变得可预见,还可以使奇迹的发生成为必然!
  这就像买彩票:即使赢面极小,只要有足够多的人参与,必然有一个人能中奖。另外,你知道吗?汽车发动机的运转和生命的进化也都是基于这一原理。
  大数让气球变得平滑,使发动机得以运转。活塞不过是一种过滤器:它只将那些朝着选定方向运动的少数分子的运动传递给外界。
  一些有趣的事情(如生命的出现)只有在宇宙变得非常大(而且非常老)之后才会在某些地方发生这一事实表明,这些有趣的事情其实是偶然的产物!
  无数的自己!
  多少只猴子随机在打字机键盘上按键,可使得其中一只必然打出一本类似《哈利·波特》的书?答案是10^369020。
  这个数字有多大呢?形象地说,1及其后面的369020个0足以填满本期《新发现》(经过慎重考虑,我们决定放弃)。
  明白了吧?那么准备好了,因为与我们现在要说的数字相比,这简直是小巫见大巫!
  以10^10^29 为例。完整写出这个数字需要在1后面加10^29,即10万亿亿亿个0。这次可填满的《新发现》杂志足以横跨整个可见宇宙!我们之所以介绍这个数字是因为它代表一段距离,在这段距离之外,另一个你自己正在读这本杂志……
  你一定觉得不可思议:这样的事情怎么可能会发生呢?
  我们的思路其实很简单:将地球看作一个由大自然乐高积木零件(构成物质的质子、神经元和其他粒子)拼装而成的很大很大的量,在无限的宇宙中,如果我们走得足够远,或许会有一个地方和我们这儿一样(由同样的零件以几乎同样的方式拼装起来)。
  也就是说,可能还存在另一个地球,包括它的所有居民!而在一些天体物理学家看来,在半径为10^10^29 米的范围内至少会有一个这样的地球副本存在。
  实际上,这个数字是如此之大,以至于是用微米还是百万光年来表示都无所谓:1后面总是跟着无数个0!因为旅途实在遥远,所以当从这些地球副本发出的光自宇宙的另一端到达地球时,目前已知的所有恒星和星系都已经消失很久了。所以这一幕永远都不会出现!
  不过,如果宇宙是无限的,那么在宇宙某处,肯定会有你的无数个分身,而且还会无限地反复出现!有没有被吓到?但还有更厉害的。
  比如数字10^10^10^120 ,与上一个数字一样,它所表示的时间跨度长到用什么单位都没关系。不管是微秒还是百万年,1后面都得加上差不多10^10^120个0(差几万个0已经无所谓了)。而这个数字所能填满的《新发现》杂志的长度,将远远超出离我们最近的另一个地球的位置!
  以棋牌游戏为例,从一副 52 张牌中抽出前 4 张,接着将这4 张牌放回并彻底洗牌,然后重新开始……方片 A 必定会在某个时刻被抽出。如果继续,方片 A 还会一次又一次地出现。而我们的宇宙不是由52张牌而是由10^100 个粒子构成,那么在 10^10^10^120这个数量级的宇宙之后,一切将重演。
  难以想象?那么换个方式:如果你能等待这么长的时间,你将见到构成我们的可见宇宙的大约10^100个粒子以几乎同样的方式再次呈现,比如今天早晨你吃早餐的情景。也就是说,10^10^10^120 秒(或年,无所谓)后,宇宙历史将重演!
  当然,这只是理论而已,根据自然法则,数到10^10^10^120 是不可能的。整个由物质构成的计数体系,不管是钟表、电脑或是你的大脑(一个闲着没事干且极其固执的副本),在尚未完成工作时就会崩溃并最终分解成粒子,这些粒子将在片刻后恢复原状,然后重新从0开始计数!
  事实上,物理定律能否维持这么长的时间也还是个未知数,或许这个永恒轮回的故事只是异想天开而已。但这个故事的寓意在于,只要数量(距离或时间)足够庞大,你就可以拥有一大批分身,何论无穷!好吧,既然已经说到了无穷,我们没有可能走得更远吧?你错了:等着吧,还有比无穷更大的呢。
  令人疯狂的数字
  实验表明,没有比无穷更大的数字了。例如无穷加上一还是无穷,不是吗?
  然而,更加匪夷所思的事情还在后头呢。一切始于20世纪初,当一位名为格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)的德国数学家决定将无穷当作一个和其他数字一样的数字来看时。
  其推理如下。如果按照1、2、3、4、5……的顺序一直数到"尽头",最后将数到无穷数(用ω表示)。那么问题来了:能否找到一个比ω更大的数字呢?
  正如前文所说,这个问题看起来有点傻。康托尔的一个仰慕者,数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)还专门创作了一则名为无穷旅馆的有趣的小故事来说明ω是一个多么古怪的"数字"。
  但康托尔不为所动,他的第二个问题来了:偶数有多少个?答案,无穷,即ω。然而,这个ω仅仅相当于所有整数的一半而已,另外一半则是奇数,不是吗?
  所以,偶数的无穷数应该比整数的无穷数少一半。康托尔立刻发现不对。实际上,每个偶数都可以与另一个整数的两倍相对应,比如2是第1个偶数,4是第2个偶数,6是第3个偶数,8是第4个偶数,依次类推。最后我们发现可以用整数给每个偶数编号,也就是说偶数和整数的数量一样多!
  这就是有趣的无穷数法则:ω(偶数) ω(奇数)= ω(所有整数的总和)!
  康托尔的思考继续进行:1和2之间还有无穷个像1.33333……或1.666666……这样的数字。2和3之间,3和4之间,4和5之间,也一样。那么所有这些数字的总数应为数字的无穷乘以区间的无穷,即ω×ω,这就意味着比整数的数量明显要多,不是吗?
  并不是。像2.438438……这样的无限循环小数被称为"有理数",因为它们全部成"比例",如5/3(1.66666……)或812/333(正好是2.438438438……)。经过一番推理,康托尔发现有理数的数量和整数的数量完全一样。所以:ω×ω=ω!
  康托尔最终在"实数"领域撞上了大运。实数指所有可能的数字,包括整数、有理数以及无限不循环小数,后者比如π等于3.141592653……小数点后面的数字无限不循环(只能被一个接一个地计算出来,目前的记录是小数点后10^13,即10万亿位。)
  关于实数,康托尔有两点贡献。首先,他指出实数的数量比整数的数量更多。然后,他证明实数的无穷数是2^ω(2×2×2×2……直到无穷)。这个论证很巧妙,但原理很简单。
  以一个包含三个球(红、蓝、绿)的集合为例,三个球的组合方式是有限的:无、单个蓝、红或绿,红和蓝,蓝和绿,红和绿,三个一起。总共有8种可能,因为对于每个球而言都存在两种可能(要么在组合内,要么不在),那么2×2×2=23=8种可能。
  包含n个元素的集合的组合数为2^n个,所有整数的组合数则为2^ω个。而实数正是整数的各种组合(比如,π可被认为是3与141、5926、53等的组合),那么实数的数量就是2^ω个。
  结论?即使ω 1= ω ω=ω×ω=ω成立,换句话说,就算与无穷数相关的任何运算的结果还是无穷,2^ω(读作2的ω次方或2的无穷次方)仍然是一个比ω更大的无穷数!
  在无穷数之后,康托尔还发现了κ0——读作"阿列夫(希伯来字母表第一个字母)零"——后面还有κ1、 κ2、κ3等。这一连串数字被称为"超穷"数,用来表示无穷集合的势(大小):可数集(包括自然数)的势标记为κ0,下一个较大的势为κ1,再下一个是κ2,依次类推……
  也就是说,下一个总是比上一个更加无穷,这简直让人发疯,不是吗?康托尔最后不幸地进了精神病院。
  不过,一个刚开始只能数到4的大脑能走到这个地步已经算是很不错了!
  撰稿 René Cuillierier
  编译 吴会敏

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