这是一个只有数学可以描述的世界，大到令人难以置信的数让这个世界没有偶然，但任何奇迹都可能发生：离开宇宙，与另一个自己擦身而过，遇见比无穷还要大的无穷。 开始之前，先为大家简单介绍一下何谓大数。 人们喜欢用简略方式记录重复的东西。比如，2×2×2×2（总共四个2）也可写成2^4（读作＂二的四次方＂）。而2^20（即1048576），比起写成2×2×2×2……（二十个2）显然要简单得多！如果把2换成10，简写的优势就更明显了，因为我们只需要数数有几个0就可以了。比如，10×10就是100或10^2…… 换言之，上面的小数字（被称为＂指数＂）表示1后面的0的个数。一百万，即1000000，可简单地写成10^6。 10的乘方还可以简化运算。相乘时将指数相加，如：1000×1000000=10^3×10^6 =10^6 3=10^9(即十亿)。相除时将指数相减：1000000÷1000=10^6－3=10^3。因此在探索大数世界时，10的乘方不可或缺。 它们无处不在，但我们却看不到 在一个美丽的夜晚，抬头仰望星空……哇！今晚的星星好多，数都数不清。然而，在地球上用肉眼可以看见的星星仅仅只有8768颗而已。 而且，我们通常只能看见其中的一半（其他的均在地平线以下）。这就意味着只要有足够的耐心，不到4000秒，即一个小时多一点，你就能数清所有这些星星！ 惊讶吗？这很正常。因为我们的大脑对大数并不怎么在行，当它说＂大数＂的时候，其实属于词语滥用。大脑能一眼看出的数量只有1、2、3和4。超过4，大脑就会死机并宣布＂有很多＂！如果桌上凌乱地放着五个苹果，几乎可以肯定的是，你将不得不一个一个地数，以弄清楚它们的数量。 恼火吧？但事实就是如此。这就是骰子的最＂大＂点数＂五＂（4 1）和＂六＂（2×3）按现在方式排列的原因：便于一眼识别。 这也是为什么在写（很）大数时，我们习惯于三个数字一组：数字1453214在你看来毫无意义，但如果写成1 453 214，你立刻知道这个数字是百万级。识别大数需要创意！ 你可以比较本页中所呈现的各个量。你会知道为什么在九宫棋游戏中获胜并不需要太多的智慧：在九格棋盘上，随意放×或○并获胜的概率并不小。相反，同样的策略在魔方游戏中不会很见效，因为魔方的变化要比九格棋盘的变化多得多。 你也将明白为什么国际象棋冠军被认为是天才。很简单，因为他们在众多的可能中找到了通往胜利的路径……因为如果每次都有＂很多＂可能的路径，这些＂很多＂中的一些显然比其他拥有更大的可能！ 大数定律 全人类质量仅占地球生物总质量的四千分之一，或地球总质量的十六万亿分之一。以太阳为起点，将50亿个地球排成直线，可抵达离太阳最近的恒星。然而，这个范围仅为整个银河系的十万分之一。 而可见宇宙中（有数百亿亿个银河系那么大）类似银河系的星系有数百亿之多。天啊，为什么人类如此渺小？为什么宇宙中的一切都比我们要庞大得多？ 在回答上述问题之前，先来看看什么是偶然性。 以抛硬币猜正反为例，如果抛的次数有限（不到20次），想猜对很难，如果抛的次数很多，想猜错却不容易。这就是数学家们所谓的＂大数定律＂：如果抛1000次，可以肯定结果为正面和反面的次数将非常非常接近！ 把一枚没有动过手脚的硬币抛若干次，得到的＂正面（F）＂和＂反面（P）＂的数量会一样多吗？不一定。我们将所有可能性序列以树形图的形式呈现。 结论：如果一个宇宙由完全随机运动的元素构成，要想预测这个宇宙的运行方式，除非它所涉及的元素有很多很多…… 但大数定律还有另一＂面＂，称为李特尔伍德奇迹定理。 这位英国数学家曾说过：＂如果你每个月观察100万个事件，而奇迹指的是只有百万分之一的可能会发生的事件，那么你每个月都能等到奇迹发生。＂说得通，不是吗？ 举个例子，在抛硬币猜正反时，接连抛出20个反面的概率只有百万分之一，但是，如果在一个200万人口的城市里，所有居民同时玩这个游戏，这样的奇迹就有97.8%的可能发生在某一个人身上！ 结论：大数不仅能使偶然变得可预见，还可以使奇迹的发生成为必然！ 这就像买彩票：即使赢面极小，只要有足够多的人参与，必然有一个人能中奖。另外，你知道吗？汽车发动机的运转和生命的进化也都是基于这一原理。 大数让气球变得平滑，使发动机得以运转。活塞不过是一种过滤器：它只将那些朝着选定方向运动的少数分子的运动传递给外界。 一些有趣的事情（如生命的出现）只有在宇宙变得非常大（而且非常老）之后才会在某些地方发生这一事实表明，这些有趣的事情其实是偶然的产物！ 无数的自己！ 多少只猴子随机在打字机键盘上按键，可使得其中一只必然打出一本类似《哈利·波特》的书？答案是10^369020。 这个数字有多大呢？形象地说，1及其后面的369020个0足以填满本期《新发现》（经过慎重考虑，我们决定放弃）。 明白了吧？那么准备好了，因为与我们现在要说的数字相比，这简直是小巫见大巫！ 以10^10^29 为例。完整写出这个数字需要在1后面加10^29，即10万亿亿亿个0。这次可填满的《新发现》杂志足以横跨整个可见宇宙！我们之所以介绍这个数字是因为它代表一段距离，在这段距离之外，另一个你自己正在读这本杂志…… 你一定觉得不可思议：这样的事情怎么可能会发生呢？ 我们的思路其实很简单：将地球看作一个由大自然乐高积木零件（构成物质的质子、神经元和其他粒子）拼装而成的很大很大的量，在无限的宇宙中，如果我们走得足够远，或许会有一个地方和我们这儿一样（由同样的零件以几乎同样的方式拼装起来）。 也就是说，可能还存在另一个地球，包括它的所有居民！而在一些天体物理学家看来，在半径为10^10^29 米的范围内至少会有一个这样的地球副本存在。 实际上，这个数字是如此之大，以至于是用微米还是百万光年来表示都无所谓：1后面总是跟着无数个0！因为旅途实在遥远，所以当从这些地球副本发出的光自宇宙的另一端到达地球时，目前已知的所有恒星和星系都已经消失很久了。所以这一幕永远都不会出现！ 不过，如果宇宙是无限的，那么在宇宙某处，肯定会有你的无数个分身，而且还会无限地反复出现！有没有被吓到？但还有更厉害的。 比如数字10^10^10^120 ，与上一个数字一样，它所表示的时间跨度长到用什么单位都没关系。不管是微秒还是百万年，1后面都得加上差不多10^10^120个0（差几万个0已经无所谓了）。而这个数字所能填满的《新发现》杂志的长度，将远远超出离我们最近的另一个地球的位置！ 以棋牌游戏为例，从一副 52 张牌中抽出前 4 张，接着将这4 张牌放回并彻底洗牌，然后重新开始……方片 A 必定会在某个时刻被抽出。如果继续，方片 A 还会一次又一次地出现。而我们的宇宙不是由52张牌而是由10^100 个粒子构成，那么在 10^10^10^120这个数量级的宇宙之后，一切将重演。 难以想象？那么换个方式：如果你能等待这么长的时间，你将见到构成我们的可见宇宙的大约10^100个粒子以几乎同样的方式再次呈现，比如今天早晨你吃早餐的情景。也就是说，10^10^10^120 秒（或年，无所谓）后，宇宙历史将重演！ 当然，这只是理论而已，根据自然法则，数到10^10^10^120 是不可能的。整个由物质构成的计数体系，不管是钟表、电脑或是你的大脑（一个闲着没事干且极其固执的副本），在尚未完成工作时就会崩溃并最终分解成粒子，这些粒子将在片刻后恢复原状，然后重新从0开始计数！ 事实上，物理定律能否维持这么长的时间也还是个未知数，或许这个永恒轮回的故事只是异想天开而已。但这个故事的寓意在于，只要数量（距离或时间）足够庞大，你就可以拥有一大批分身，何论无穷！好吧，既然已经说到了无穷，我们没有可能走得更远吧？你错了：等着吧，还有比无穷更大的呢。 令人疯狂的数字 实验表明，没有比无穷更大的数字了。例如无穷加上一还是无穷，不是吗？ 然而，更加匪夷所思的事情还在后头呢。一切始于20世纪初，当一位名为格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）的德国数学家决定将无穷当作一个和其他数字一样的数字来看时。 其推理如下。如果按照1、2、3、4、5……的顺序一直数到＂尽头＂，最后将数到无穷数（用ω表示）。那么问题来了：能否找到一个比ω更大的数字呢？ 正如前文所说，这个问题看起来有点傻。康托尔的一个仰慕者，数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）还专门创作了一则名为无穷旅馆的有趣的小故事来说明ω是一个多么古怪的＂数字＂。 但康托尔不为所动，他的第二个问题来了：偶数有多少个？答案，无穷，即ω。然而，这个ω仅仅相当于所有整数的一半而已，另外一半则是奇数，不是吗？ 所以，偶数的无穷数应该比整数的无穷数少一半。康托尔立刻发现不对。实际上，每个偶数都可以与另一个整数的两倍相对应，比如2是第1个偶数，4是第2个偶数，6是第3个偶数，8是第4个偶数，依次类推。最后我们发现可以用整数给每个偶数编号，也就是说偶数和整数的数量一样多！ 这就是有趣的无穷数法则：ω（偶数） ω（奇数）= ω（所有整数的总和）！ 康托尔的思考继续进行：1和2之间还有无穷个像1.33333……或1.666666……这样的数字。2和3之间，3和4之间，4和5之间，也一样。那么所有这些数字的总数应为数字的无穷乘以区间的无穷，即ω×ω，这就意味着比整数的数量明显要多，不是吗？ 并不是。像2.438438……这样的无限循环小数被称为＂有理数＂，因为它们全部成＂比例＂，如5/3（1.66666……）或812/333（正好是2.438438438……）。经过一番推理，康托尔发现有理数的数量和整数的数量完全一样。所以：ω×ω=ω! 康托尔最终在＂实数＂领域撞上了大运。实数指所有可能的数字，包括整数、有理数以及无限不循环小数，后者比如π等于3.141592653……小数点后面的数字无限不循环（只能被一个接一个地计算出来，目前的记录是小数点后10^13，即10万亿位。） 关于实数，康托尔有两点贡献。首先，他指出实数的数量比整数的数量更多。然后，他证明实数的无穷数是2^ω（2×2×2×2……直到无穷）。这个论证很巧妙，但原理很简单。 以一个包含三个球（红、蓝、绿）的集合为例，三个球的组合方式是有限的：无、单个蓝、红或绿，红和蓝，蓝和绿，红和绿，三个一起。总共有8种可能，因为对于每个球而言都存在两种可能（要么在组合内，要么不在），那么2×2×2=23=8种可能。 包含n个元素的集合的组合数为2^n个，所有整数的组合数则为2^ω个。而实数正是整数的各种组合（比如，π可被认为是3与141、5926、53等的组合），那么实数的数量就是2^ω个。 结论？即使ω 1= ω ω=ω×ω=ω成立，换句话说，就算与无穷数相关的任何运算的结果还是无穷，2^ω（读作2的ω次方或2的无穷次方）仍然是一个比ω更大的无穷数！ 在无穷数之后，康托尔还发现了κ0——读作＂阿列夫（希伯来字母表第一个字母）零＂——后面还有κ1、 κ2、κ3等。这一连串数字被称为＂超穷＂数，用来表示无穷集合的势（大小）：可数集（包括自然数）的势标记为κ0，下一个较大的势为κ1，再下一个是κ2，依次类推…… 也就是说，下一个总是比上一个更加无穷，这简直让人发疯，不是吗？康托尔最后不幸地进了精神病院。 不过，一个刚开始只能数到4的大脑能走到这个地步已经算是很不错了！ 撰稿 René Cuillierier 编译 吴会敏
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