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等比数列求和公式(等比数列相关知识及公式运用讲解)

  等比数列求和公式(等比数列相关知识及公式运用讲解)
  等比数列定义:
  如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于一个常数(不为0),那么,这个数列就叫做等比数列。
  这个常数叫做等比数列的公比。
  来看下面这道题:
  【例1】求1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024的和。
  通过观察,会发现这个数列的后一项比上前一项都是2。
  2÷1=2;
  4÷2=2;
  8÷4=2;
  ……
  1024÷512=2。
  所以这个题目就是典型的等比数列求和题,
  公比是2。
  例1中,如果拿笔硬算会十分麻烦,而且容易出错。
  在这里G老师分享一个计算等比数列求和题目时经常用到的一个方法。
  ☞ 错位相减法
  令A=1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024,
  G老师让A这个式子再乘以数列的公比,
  会得到什么呢?
  2A=2+4+8+16+32+128+256+512+1024+2048,
  这样我们构造出了一个新数列,
  而且这个数列的和等于原数列乘以公比。
  再将两个式子相减,
  G老师手写
  左边是2A-A=A;
  右边是2048-1;
  等式右边其余的项都已经抵消了。
  这样我们就得出结果了,
  1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047
  再来看看下面这道题
  【例2】计算3+9+27+81+243+729+2187
  分析:这题是等比数列求和,公比是3,共有7项。采用错位相减法,让等式乘以它的公比。
  令A=3+9+27+81+243+729+2187;
  则 3A=9+27+81+243+729+2187+6561;
  两式相减,
  3A-A=2A=6561-3
  2A=6558
  A=6558÷2=3279
  所以,
  3+9+27+81+243+729+2187=3279
  总结一下,等比数列的一般规律。
  等比数列中,
  公比=后一项÷前一项;
  末项的值=首项x公比的(n-1)次方(n代表项数)。
  注意:公比的(n-1)次方=(n-1)个公比相乘
  如【例2】中,末项是2187,首项是3,项数n=7。
  2187=3x3^(7-1)
  等比数列的和=(末项x公比-首项)÷(公比-1)

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