相交线与平行线（相交线与平行线经典题）

　　相交线与平行线（相交线与平行线经典题）
　　知识要点：
　　相交线与平行线知识框图
　　一、相交线
　　1．邻补角、对顶角的相关概念
　　（1）邻补角：
　　如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角.
　　（2）对顶角：
　　如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角.
　　如图，直线 AB 和 CD 相交于 O 点，形成四个角，分别是 ∠1，∠2，∠3，∠4 .
　　其中邻补角有4对，分别是∠1 和 ∠2，∠2 和 ∠3，∠3 和 ∠4，∠4 和 ∠1；
　　对顶角有2对，分别是∠1 和 ∠3，∠2 和 ∠4.
　　2.邻补角和对顶角的性质
　　邻补角互补；对顶角相等.
　　3.邻补角、对顶角的应用
　　【例题1】如图，直线 a，b 相交，∠1=45°，求 ∠2，∠3，∠4 的度数．
　　解：
　　∵ ∠1 + ∠2 = 180°，
　　∴ ∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 45° = 135° .
　　∵ ∠3 = ∠1，∠4 = ∠2，
　　∴ ∠3 = 45°，∠4 = 135° .
　　二、垂线
　　1.垂线的相关概念
　　（1）垂直：
　　两条直线相交，有一个夹角是直角，这两条直线互相垂直；
　　（2）垂线：
　　两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线.
　　2.垂直的性质与判定
　　如图，
　　（1） 垂直的性质：
　　∵ AB⊥CD ( 已知 )，
　　∴∠AOC = 90°( 垂直的定义 ).
　　（2）垂直的判定：
　　∵ ∠AOC=90° ( 已知 )，
　　∴AB⊥CD( 垂直的定义 ) .
　　3.垂线的性质
　　在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
　　4.垂线的应用
　　【例题2】如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，OE⊥AB 于点 O，∠1 = 40°，
　　求 ∠2 和 ∠COA 的度数 .
　　解：
　　∵ OE⊥AB，
　　∴ ∠BOE = 90°，
　　∵ ∠2 + ∠BOE + ∠1 = 180°，
　　∴ ∠2 = 180° - ∠BOE - ∠1 = 50° .
　　又 ∵ ∠2 + ∠COA = 180°，
　　∴ ∠COA = 180° - ∠2 = 130° .
　　三、点到直线的距离
　　1.垂线段的定义：
　　如图，直线 PC⊥AB，把线段 PC 叫做点 P 到直线 AB 的垂线段.
　　2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 .
　　如图，下列选项中最短的线段是 （B）
　　A.PA B.PB C.PC D.PD
　　3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离 .
　　如图，线段 PB 的长度，叫做点 P 到直线m 的距离.
　　四、同位角、内错角、同旁内角
　　1.三线八角
　　如图，直线 AB，CD 被直线 EF 所截，构成八个角，简称＂三线八角＂.
　　（1）同侧同向 —— 同位角：
　　例如 ∠1 和 ∠5，图中还有 ∠4 和∠8，∠2 和∠6，∠7 和∠3；
　　（2）两侧异向 —— 内错角：
　　例如 ∠3 和 ∠5，图中还有∠4和∠6；
　　（3）同侧异向 —— 同旁内角：
　　例如 ∠3 和 ∠6，图中还有∠4和∠5.
　　2.同位角、内错角、同旁内角
　　【例题3】如图，
　　① ∠1 与∠4是同位角；② ∠2 与∠1是内错角 ; ③ ∠3 与∠1是同旁内角 .
　　3.同位角、内错角、同旁内角的应用
　　【例题4】如图，
　　① ∠1 和 ∠8 是直线AF与直线AG被直线DE所截形成的同旁内角 ;
　　② ∠4 和 ∠8 是直线AF与直线AG被直线DE所截形成的同位角 ;
　　③ ∠2 和 ∠8 是直线AF与直线AG被直线DE所截形成的内错角 .
　　五、平行线
　　1．平行线的定义
　　（1）观察思考：
　　在转动直线 a 的过程中，有没有直线 a 与直线 b 不相交的位置呢？
　　（2）定义及表示方法：
　　在同一平面内，不相交的两条直线是平行线 .
　　直线 a 与 b 平行，记作a∥b.
　　（3）总结：
　　同一平面内两条直线的位置关系有两种：①平行，②相交.
　　2.平行公理及推论
　　（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
　　（2）推论：
　　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 .
　　如图，
　　∵ b∥a，c∥a，∴ b∥c .
　　3.平行线的判定
　　（1）判定方法 1：
　　两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
　　简单说成：同位角相等，两直线平行.
　　如上图所示，用直尺和三角尺作出直线 AB，CD，
　　得到 AB∥CD 的理由是同位角相等，两直线平行．
　　结合图形，用符号语言表述平行线判定方法：
　　∵ ∠1=∠2 ( 已知 )，
　　∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行 ) .
　　（2）判定方法 2：
　　两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.
　　简单说成：内错角相等，两直线平行.
　　如图，
　　∵ ∠1=∠2，
　　∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.
　　（3）判定方法 3：
　　两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 .
　　简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
　　如图，
　　∵ ∠1 + ∠4 = 180°，
　　∴a∥c（同旁内角互补，两直线平行）.
　　（4）判定方法 4：
　　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 .
　　∵ b⊥a , c⊥a ,
　　∴b∥c.
　　4.平行线的性质
　　（1）两直线平行，同位角相等；
　　（2）两直线平行，内错角相等；
　　（3）两直线平行，同旁内角互补 .
　　【例题5】如图所示，已知 AB∥CD .
　　（1）∠ABE = 130°，∠CDE = 152°，求 ∠E 的度数；
　　（2）请猜想 ∠B + ∠E + ∠D 的度数，并说明理由 .
　　参考答案：
　　（1）∠E = 78°；
　　（2）∠B + ∠E + ∠D = 360° .