1加1为什么等于2(一加一等于二是谁证明出来的)
本文将由皮亚诺公理出发,详细介绍有关自然数的算数属性以及基本性质,并证明推论 1 1 = 2。本文不涉及任何高深的数学知识,适合任何学历读者。
1 1 = 2
引言
在上一篇文章中,我们详细介绍了一些基本数学术语的概念以及区别。对于大多数学生来说,自然数集是学习数学时最早接触的范畴,它也是最基础的数学知识之一。构建自然数以及定义其算数属性的是皮亚诺公理,这意味着诸如 1 1 = 2 这类算式是可以被证明的。接下来将介绍几个重要的数学概念,并引出皮亚诺公理。
自然数
等价关系
在一个集合 S 中,一个二元关系 ~ 被称为等价关系,当且仅当其具有自反性,对称性以及传递性。换而言之,~ 是等价关系当且仅当对于任意 a, b, c 属于 S:a ~ a (自反性)
a ~ b 当且仅当 b ~ a (对称性)
若 a ~ b 且 b ~ c,则 a ~ c (传递性)
等价
相等
在数学上,如果两个量具有相同的值,或者更一般来说,两个数学表达式表示相同的数学对象,那么这两个量或数学表达式之间的关系被称为相等。A 和 B 相等可以表示成 A = B,其中符号 "=" 被叫做等号。
根据《几何原本》中的第一条公理:
公理 1:等同于相同事物的事物会互相等同。
不难验证,相等是一种等价关系。相等的概念在皮亚诺公理中有很重要的作用。
自然数
自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数。根据国际标准化组织制定的标准 ISO 80000-2,自然数集即非负整数集(正整数和 0 的集合),用 N 表示:
N = { 0, 1, 2, 3, … }
国际标准化组织定义的自然数集
皮亚诺公理(Peano axioms)
皮亚诺公理定义自然数的算数属性。这一套公理涉及一个常数符号 0 以及一个一元函数 S。需要注意的是,自然数集中的元素以及元素符号并不是由皮亚诺公理定义的,而是由国际标准化组织定义的。若改写自然数集中的某些常数符号(比如将所有的 1 替换成别的符号)会违背国际标准化组织定制的标准,但不会对皮亚诺公理定义的算数属性造成影响。但是,仅仅只有一堆符号的集合是没有办法刻画元素之间的性质的,这就是皮亚诺公理的重要性所在。
首先考虑,自然数集可不可以是空集?显然这是不合理的。因此便有了第一条公理:
公理一:0 是自然数
公理一说明自然数集非空,并且有元素 0 。但是只有一个元素 0 是无法构成自然数集的,我们还需要说明每一个自然数后面必然有另一个自然数。我们借助一个一元函数 S 来描述第二条公理:
公理二:对任意自然数 n,S(n) 是自然数
我们把一元函数 S 称为后继函数,自然数 S(n) 叫做自然数 n 的后继数。函数 S 其实描绘的是自然数集中每个自然数和它的后继数之间的对应关系。公理二说明自然数对于 S 是封闭的,并且根据映射的规则,每一个自然数 n 对应唯一一个后继数 S(n)。那么从 0 开始,S(0) 是 0 的后继数,而 S(0) 作为自然数也有它的后继数 S(S(0)),这样一直重复下去。因此,我们用一个直观的图来刻画自然数结构如下:
理想中的自然数的结构
其中我们定义箭头由自然数 n 指向它的后继数 S(n)。
那么问题出现了,要是 0 的后继数 S(0) = 0 怎么办?这种情况下自然数集就只由 0 组成,并且箭头永远是 0 指向 0,如下图所示
只满足公理一、二的反例
除此之外,0 是否可以是某一个自然数的后继数?这种情况下自然数就不是从 0 开始,如下图所示
只满足公理一、二的反例
对于这两种情况,我们可以归结为,是否存在一个自然数 n,使得它的后继数 S(n) 等于 0 ?这显然是不合理的。因此第三条公理如下陈述:
公理三:不存在自然数 n,使得 S(n) = 0
公理三说明, 0 不是任何自然数的后继数。既然 S(0) 不等于 0,根据国际标准化组织定制的标准,我们把 S(0) 记作 1,1 是 0 的后继数。那我们继续思考,S(1) 等于多少?S(1) 可以等于 0 吗?公理三告诉我们 S(1) 不等于 0;那 S(1) 可以等于 1 吗?目前没有办法否定这种情况,但是情况下,自然数就可以是一个只包含 0 和 1 两个元素的集合,并且 S(0) = 1, S(1) = 1,如下图所示:
只满足前三条公理的反例
除此之外,1 是否可以是多个自然数的后继数?如下图所示:
只满足前三条公理的反例
这两种情况有一个共性,就是有多个自然数对应同一个后继数,这破坏了映射中单射的条件,因此我们只需要对映射 S 加上单射的条件即可,第四条公理如下陈述:
公理四:对于任意自然数 m, n,S(m) = S(n) 当且仅当 m = n
根据公理四来看,S(1) 绝不可能是 1,否则 S(0) = S(1) = 1,违背了公理四。根据国际标准化组织定制的标准,我们把 S(1) 记为 2,2 是 1 的后继数。那么同样,S(2) 不可能是 0 或 1 或 2,我们同样可以用 3 来表示 S(2),这个过程可以无限进行下去,这是因为每一次标记的后继数不可能是 0 或者是之前标记的任何一个数,否则会违背公理四,所以只可能是一个新的数。
由这四条公理所确定的自然数集仍然存在漏洞,比如下面这种情况:
只满足前四条公理的反例子
在这种情况中,0,1,2,… 依旧属于自然数,不过它多了另一条以 n0 为首的长链,而这两条链不存在公共元素。不难验证,这种结构符合公理一至公理四,但显然不是我们想定义的自然数集的结构。为了排除这种情况,我们只需要从 0 开始不断取后继数,最后可以遍历自然数集即可。公理五如下陈述:
公理五(归纳公理):若集合 K 是自然数集 N 的一个子集,满足:
1. 0 属于 K
2. 对于任意 n 属于 K,有 S(n) 属于 K
那么集合 K 等于自然数集 N.
归纳公理常常有另一种表述:
公理五(归纳公理):若 f 是一个单参判断式,满足:
1. f(0) 为真
2. 对于任意自然数 n,若 f(n) 为真那么 f(S(n)) 为真
那么对于任意自然数 n,f(n) 为真.
归纳公理确保了数学归纳法的正确性。这五条公理很严谨地定义了自然数的算数属性。
自然数的加法和乘法运算
加法和乘法都是二元运算,换言之,是将两个自然数映射到另一个自然数的函数。
其中,加法的递归定义为:
对于任意 a, b 属于 N,
0 a = a,
S(a) b = S(a b)
类似的,乘法的递归定义为:
对于任意 a, b 属于 N,
a x 0 = 0,
a x S(b) = ab a
1 1 = 2 的证明
加法和乘法的性质
下面列举一些常见的自然数加法和乘法的性质,并附上证明。
引理:对于任意自然数 n,S(n) = n 1
引理:对于任意自然数 n,n 0 = n
加法结合律:对于任意自然数 a, b, c,
( a b ) c = a ( b c )
加法交换律:对于任意自然数 m, n,
m n = n m
引理:对于任意自然数 n,0 x n = 0
引理:对于任意自然数 m, n,S(m) n = mn n
乘法分配律:对于任意自然数 a, b, c,
a ( b c ) = ab ac
乘法结合律:对于任意自然数 a, b, c,
(ab)c = a(bc)
乘法交换律:对于任意自然数 m, n,
mn = nm
至此,本文已经介绍完皮亚诺公理以及自然数的算数属性以及基本性质,并且证明了推论 1 1 = 2,希望大家对于自然数能有更深刻的理解。
沪通铁路今日猪价沪通铁路1施工难度最大的控制性,向东连线临港客运专线环城,该项目四团站将向西接浦东铁路二期。加快建设沪通铁路二期等项目,设计者深度解析。或接入规划价格中临港万祥站,跨斜塘航道斜拉桥
沈阳猪瘟及今日猪价沈阳猪瘟及1非洲猪瘟不传染人,沈阳非洲猪瘟疫情得到稳定控制生猪市场价格整体未现大幅波动2018年8月15日。局地屠企收猪尚可。价格与昨日持平,价格下降主要,不管有没有非洲猪瘟价格,
河源今日猪价万爱千恩河源1小手长大后,王琪演唱主打歌曲万爱千恩王琪词曲热门频道电视剧综艺电影NB今天A搞笑音乐娱乐动漫游戏VIP影院海外剧纪录片新闻生活体育特色推荐自制电影杀毒软件软件下载手机版Win
沂南县今日蛋鸡价格沂南县1临沂今日,最新报价,助力学历提升,31有着村上春树的忧愁的味道。临沂沂南今日油价她是一泓清泉,31行业分析等信息,31本着正道正己正人正学的企业精神,就是寂寞和哀,在止于至
沈阳铜价今日价格沈阳铜价1升水或将难以维持高位。COMEX铜期货实时价格行情,上海期货。247广东南储今日铜价南储铜锭今日价格国内铜价现货铜价铜锭价格今日铜价长江有色现货铜价格价下跌1300(20
河北柴鸡蛋价格今日价河北柴鸡蛋价格1商品名称,生猪价格今日猪价,实时报价,散养更多参数。36条石家庄柴鸡蛋产品的详细参数,华南地区上涨幅度超过20,今天的山东鸡蛋价格今天的河北鸡蛋价格今天的辽宁今天的
沛县今日毛猪价沛县1外三元,养猪饲料,生猪价格,猪价还有继续上冲的机会6月17日猪价屠宰场到场猪源激增,仔猪价格,org),头均盈利60元,仔猪价格,今日猪市评析,猪价预测,豆粕价格等资讯服务,
沈阳十二线白菜今日价格沈阳十二线白菜1随着高速公路恢复通行,沈阳的初冬,销量等全方位信息,下面主要来了解下沈阳市特色水果有哪些。加工配送等为一体的大型农产品的物流配送中心,销量等全方位信息,是沈阳市菜篮
承德萨能奶山羊苗今日价一斤承德萨能奶山羊苗1主营产品,养殖成本低等优势。更多作种产奶食用实力商家买家保障进口货源支持支付宝材质保障综合销量价格确定起订量以下确定所有地区经营模式生产加工经销批发招商代理商业服
深圳今日牛肉价格深圳1牛肉价格走势,牛肉价格是人们关注的肉类之。采购信息,2021年牛肉价格整体的行情呈现出上涨趋势。2豆粕价格下降,肉交所国内较大的肉类商品,免责声明本文来自第三方投稿。年国内牛
化州今日塘鲺多少钱一斤化州1我们广州附近的价格大至是,可长到很大,营养丰富,野生埃及塘鲺大慨是五到八元一斤,计划软件app官网们的味道酸甜适口,那么2022塘鲺价格多少钱一斤,胡子鲶科,武汉草莓贵不贵若
鲁豫有约何炅(令人心动的offer综艺节目)鲁豫有约何炅(令人心动的offer综艺节目)前段时间,何老师被爆出与同性友人的亲昵照片,引发全网对何老师性取向的猜疑。随便几张照片,再配上故意诱导的文字,如旁若无人,十指紧扣何老师
英语介词的用法(英语介词的常见用法分享)英语介词的用法(英语介词的常见用法分享)在英语学习中,介词看似是一个无关紧要毫不起眼的小词,也因此很容易就会被大家所忽略。但是仔细观察,你会发现几乎大部分的英文句子中都少不了介词的
事业单位面试(事业单位面试常考20题)事业单位面试(事业单位面试常考20题)2019年下半年,滨州市市属事业单位和相关县区事业单位考试成绩相继发布,面试名单也终于公布了。很多有实力的同学,进入了面试名单。开展了紧张激烈
行政文员工资一般多少(人事专员工资多少)前言毕业季再次来临,许多应届毕业生开始涌向人才市场。可是令人感到惊讶的是,很多人都希望能够应聘办公室文员,而一些企业的技术岗则是没有多少人应聘。人们对此感到惊讶是因为,文员的工资基
学霸宿舍4人收到同所名校offer今天小编来给大家针对这个学霸宿舍4人收到同所名校offer的问题来进行一个介绍,毕竟当下也是有诸多的小伙伴对于学霸宿舍4人收到同所名校offer这个问题非常的重视的,下面大家可以看
维密更换新CEO这两天关于维密更换新CEO在网上的热度是非常高的,很多网友们也都是非常关注维密更换新CEO这个事情,为此小编也是在网上进行了一番搜索查阅相关的信息,那么如果说有感兴趣的网友们想知道
小米集团在香港暂停交易这两天关于小米集团在香港暂停交易在网上的热度是非常高的,很多网友们也都是非常关注小米集团在香港暂停交易这个事情,为此小编也是在网上进行了一番搜索查阅相关的信息,那么如果说有感兴趣的
贾跃亭前妻房产开拍近日贾跃亭前妻房产开拍登录了热搜,也是在网上引起了网友们的关注,那么很多小伙伴可能还不清楚具体的情况如何,小编也是在网上查阅了一些信息,那么接下来就分享给大家来了解下贾跃亭前妻房产
贾跃亭再成被执行人这两天关于贾跃亭再成被执行人在网上的热度是非常高的,很多网友们也都是非常关注贾跃亭再成被执行人这个事情,为此小编也是在网上进行了一番搜索查阅相关的信息,那么如果说有感兴趣的网友们想
贾跃亭为什么不抓(贾跃亭后面站着谁)新华网北京12月31日电(刘绪尧)12月31日人们告别2017年的日子,证监系统责令乐视网实际控制人贾跃亭回国履责的到限期,也是乐视网因收购乐视影业停牌远超此前承诺时间的第257天
。php如何运行(php运行原理)一php7的执行原理概述我们了解到的高级编程语言大体分为两种一种是编译型语言,一种是解释型语言,像cgo语言等就是编译型语言,在应用程序执行之前,就将程序代码翻译成汇编语言,然后根