傅里叶变换对（傅里叶为何变换？）

　　傅里叶变换对（傅里叶为何变换？）
　　傅里叶变换是很多理工科同学本科阶段会接触的基本概念，但也是比较令人困惑的概念之一。
　　因为，傅里叶变换的定义非常唬人：
　　唬人是啥意思呢？
　　＂唬＂其实是多音字，不仅读hu，还尼玛能读xia（也不知这是谁定的）：
　　唬（hu）的意思是＂虚张声势、夸大事实＂，也就是说，这事儿，本来很简单，故意搞得很复杂。
　　这个公式，就在唬（hu）人。三角级数
　　我在之前一篇文章＂泰勒为何要展开＂介绍了＂泰勒级数＂，＂泰勒级数＂是一种＂幂级数＂，就是把一个函数，＂拆解成一堆＂关于x的加减乘除运算：
　　后一个省略号一般写成余项，以便估算误差。
　　现在，如果我们不是采用＂x^n＂这种＂基本元素＂，而是使用三角函数cos(nx)这种形式的＂基本元素＂，则，我们可以尝试写成如下形式（注意，此时e^x应限定周期并进行周期延拓，因为三角级数只能表示周期函数）：
　　问题来了，系数A1、A2...An是啥呢？
　　傅里叶说，我有祖传配方，可算系数。
　　这就是＂傅里叶级数＂。
　　具体公式各大课本都有，在此不予讨论。傅里叶级数
　　根据上面的原理，我们可以将一些函数展开成＂傅里叶级数＂，比如，可以在一个周期内，将x^2展开：
　　x^2的傅里叶级数展开
　　注意，和泰勒展开类似，这里也是＂完美的等于＂，不是＂约等于＂。三角级数的优势
　　三角函数sinx（或cosx）的微分依然是三角函数：
　　积分也依然是三角函数：
　　在信号分析时，这个特点会带来很大的优势。
　　因为，微分和积分运算，只改变了三角信号的＂相位角＂，而不改变其类型及幅值。
　　这样，我们可以将信号＂拆解＂成一堆正弦信号，然后就可以只关心每个正弦波的＂相位＂变化，运算起来极其方便。
　　当然，这只是优势之一。更多优势，欢迎大家自学成才。傅里叶变换
　　刚才提到的傅里叶级数拆解法，其实有一个前提，就是要求信号是周期的，或者，它在一个周期内是有限长度的，我们再进行周期延拓（复制粘贴到其它周期），这是由于三角级数这个＂元素＂本身得周期性造成的。
　　如果信号是无限长且＂非周期＂，那么，我们就要用到傅里叶变换了。
　　实际上，傅里叶变换就是＂频率上极其致密＂的正弦波的叠加。
　　听起来怎么又他娘的如此抽象，我们回到刚才x^2的例子：
　　x^2的傅里叶级数展开
　　注意，cos1x和cox2x直到coxnx，在求和中有＂贡献＂。
　　但是，你有没有发现，cox1.1x或cox1.11x或cox2.22x等等正弦波，都没有参与求和，对结果＂没有贡献＂。
　　当我们想用正弦波来表示非周期的函数时，就要付出代价：
　　这些正弦波不仅无穷多，而且，频率n将不再是离散的整数，而是＂连续＂的实数，我们将它记作ω。
　　ω就是正弦波的频率，它实质上就是cos(ωt + φ)这样＂一大堆＂正弦波中的＂ω＂，此时，求和就演变成为积分。jωt的由来
　　当我们表示成cos(ωt + φ)形式的积分时，运算比较复杂，于是，我们用欧拉公式转换一下：
　　于是，积分号内就出现了如下的指数形式：
　　用指数形式进行计算，相位角可以直接在角标上进行加减，非常方便。
　　至此，就出现了令人困惑的，
　　傅里叶变换。