复数公式（复数计算和几何证题）

　　复数公式（复数计算和几何证题）
　　同学们在代数课程中学习复数这一部分的时候，一般对复数的代数演算注意得比较多，而对这种数及其运算的几何意义注意得比较少。其实，复数及其运算的几何解释在数学中有着重要的地位，在物理学、力学中有着广泛的应用。
　　在这一讲中我们要比较详细地解释一下复数及其四则运算的几何意义，并且用一些有趣的例子来说明怎样利用复数演算来证平面几何题。
　　一、复数的几何意义
　　大家知道，如果我们在平面上引进一个笛卡儿坐标来，那么任何一个复数z=a+bi (a,b 为实数) 都可以用平面上坐标为(a，b)的点P来表示(图1).这样一来，我们就可以在全部复数和平面上的全部点之间建立起一个一一对应的关系：每个复数z由一个唯一的点P来代表，每个点P代表一个唯一的复数z.我们把复数z称为点P的坐标，并把点P直接称为点z.
　　横坐标轴上的点代表实数，因此这个坐标轴称为实轴。纵坐标轴上的点代表形为bi的纯虚数，因此这个坐标轴称为虚轴.
　　点P在平面上的位置也可以由向径的长度r以及与实轴正向所的角来决定.r称为复数的模，称为z的幅角，常用的记号是
　　如果z的模和幅角分别是r和，那么它的实部和虚部将是
　　因此我们有
　　复数的这种表示式在下面是很有用的。
　　注意，当我们讲到z的幅角的时候，我们永远把正半实轴从它的原有位置反着时针方向转到向径的位置时所扫过的那个角当作正的，把顺着时针方向扫过的角当作负的。例如i这个点位于虚轴上半，所以它的幅角是，而-i这个点位于虚軸下半，它的幅角为
　　一个复数的幅角不是唯一确定的，如果是z的幅角，则(n=0， 土1，土2，···)也是z的幅角。当z=0时，幅角失去意义。
　　我们知道复数z=a+bi的模是
　　所以
　　这里复数
　　称为z的共轭复数。
　　有趣的是位于以原点为中心，1为半径的圆周(单位圆周)上的复数。此种复数的模为1，因此它们具有形式
　　我们知道
　　这就是说，两个模为1的复数相乘时，只要把它们的幅角相加就行了，在这里幅角所起的作用相当于幂式中指数x所起的作用，因此我们采用记号来代表复数C：
　　我们有
　　有了这个记号，任意复数z可写作
　　而它们的共轭复数是不过要注意，在这里只是一个纯粹的记号而已。
　　复数z除了可以看作平面上的一个点之外，也可以看作平面上的一个向量：这个向量在实轴和虚轴两个方向上的分量分别是a和b，因而它的长是|z|.在这里向量的起点究竟是哪一点，那是完全无关重要的。因此，平面上任意两个向量，只要它们的长相等，方向相同，就可以表示同一复数。表示同一复数的有无穷多个向量。由于这些向量大小方向完全相同，我们把它们看作同一向量，此种向量称为自由向量.
　　如果向量z的起点在坐标原点，那么它的终点就是点z，以原点为起点的那个向量称为复数z的位置向量。
　　现在我们来看一看复数的四则运算具有怎样的几何意义。
　　(一)复数的加(减)法。两个复数
　　相加减时，其实部和虚部分别相加减。这就是说，代表的向量应该按照普通的平行四边形定律相加减。为了将向量和相加，我们把的起点放在的终点上，这时由的起点引向的终点的那个向量就是+（图4）.
　　我们知道复数的模就是代表它的向量的长度，但在一个三角形中两边长度之和不小于第三 边的长庭，故从图4中立即可得重要不等式
　　推而广之有
　　从向量相加的规律中， 我们还可以看到，如果平面上二点和的 坐标是和，那么向量
　　现在我们问，如果,二点的连线上有一点P，它满足条件
　　这个点P的坐标应该怎样求？注意：在这样的情况下，我们说点P按比例分割线段，如果P位于线段之内，这个比值是正的，否则为负。由于
　　所以我们有由此即得如命则有
　　特别当P为段的中点时，由于，我们有
　　这就是求两点连线的中点公式。
　　由上面的分析中我们还可以得出下面这样一个重要的结论：平面上三点共线的充分必要条件是：存在三个不全为零的实数l，m，n，使得
　　证. 如果共线，那么应按某种比例分割的联线段，即
　　命
　　这就是三个不全为零的实数，并且
　　现在反过来，假设存在三个不全为零的实数使得成立，我们不妨假定其中，那么就有
　　也就是说，是按比例l:m分割,的联线段的那个点，这三点当然共线。
　　(二)复数的乘(除)法 现在让我们来看一看复数的乘(除)法有怎样的几何意义，设
　　那么我们有
　　这就是说，两个复数相乘(除)时，其模相乘(除)，其幅度相加(减).
　　因此，为了要作出向量，只要把向量的长度乘上，并且同时把这个向量反着时针方向转动一角度就行了.
　　从这里我们看到如果我们惩把某个向量z反(顺)着时针方向转动一个角度，只要用(或)去乘z就行了，特别，如果我们想把向量z朝左(右)转一个直角，只要用i(或-i)去乘z就行了.
　　此外我们还看到，为了求出向量之间的夹角，只要作出复数的幅角就行。
　　二、几何证题举例
　　现在我们举出一些例子，说明怎样利用前面所讲的一些简单的概念来证平面几何题，这里给出的法都是通过复数的代数演算给出的，因此称为分析注法.大家在平面几何课程中学到过的那种证法称为综合证法。这里我们既给出一个题的分析证法，也给出它们的综合证法。
　　例1.证明三角形的三条中线相交于一点.
　　[证]设三角形的三个顶点A，B，C的坐标为那么它的三个边的中点L，M，N的坐标将是
　　由于A，G，L共线，故应有
　　由此即得
　　整理之得
　　并且
　　但不共线，故根据前面所都结论应有
　　由此即得
　　以=2/3代入式(1)，就得
　　因此，我们看到三角形的任意两条中线都交于这一点，即三条中线共点。
　　这题的综合证法是大家都知道的，不在此处讲了，我们只指出分析方法给出了三角形重心的坐标。
　　例2.从前有一个海盗，把他抢来的宝物埋藏在一个海岛上，并在自己的日记本上写了如下的记录：＂××年×月×日，我从海岛岸边一棵松树P处登陆，向左前方走了一段路，遇到一块大石头A，在这里我朝左转了90°，再走了同样长的一段路，达到海岛上一点A'.后来我又从松树p处出发，向右前方走了一段路，遇到一块大石头B，在这里我朝右转了90°，再走了同样长的一段路，达到一点B’.我把宝物埋在A'，B'二点连线的中点上。＂
　　过了若千年之后，他的后人发现了这本日记，来到了这个海岛上.他发现两决石头仍然存在，可是岸旁那棵松树已经不存在了，请问这位海盗的后人有没有办法把埋藏的宝物重新找出来？
　　分析解法，我们以A，B二点的联线l作为实袖，以二点联线的中点0为原点引进一个坐标系。不妨设在这个坐标系中A的坐标是-1，B的坐标是1，设点P的坐标为z，那么向量
　　向量可由向量反着时针方向转得到，故
　　. 但这个向量的超点4的坐标为一1，故其终点A'的坐标为
　　同理，向量可由向量顺着时针方向转得到，故
　　. 从而知的坐标为 1-i(1-z). A',B'联线段中点M的坐标应是
　　这就是说，不论p的坐标为何，宝物埋藏点M总是点-i，即以AB为底的等腰直角三角形的顶点。
　　如果点P在1的另一侧，则M的坐标是i，因此后来的人只要以AB 为底作一正方形，那么宝物一定埋在正方形的另外两个顶点上。
　　综合解法.设A'，B'二点联线段的中点为M，作PP',A'A＂,B'B＂,MM'垂直于 A，B二点的联线l。由于M是梯形A'A＂B＂B'一个腰的A'中点，故M'必是另一腰A＂B＂的中点。另一方面，在直角三角形△PP'B和△BB＂B'中，由于，∠1=∠2，故
　　因此我们有
　　同理可知
　　由于是A＂B＂的中点，而，故M'必定同时也是AB的中点.另一方面，我们有
　　故有
　　即△MM'A，△MM'B为等腰直角三角形，因而△AMB是等腰直角三角形。由此可知宝物埋藏点是以AB为底的等腰直角三角形的顶点.
　　例3.以平行四边形口ABCD的每个边为边，向四边形之外作一正方形。明这四个正方形的四个中心依次联结起来是一正方形。
　　分析证法。命平行四边形的四个顶点A，B，C，D的坐标为.首先注意
　　但这两个向量方向相同，长度相等，故必有
　　或
　　现在注意向量是由向量顺着时针方向转得到的，故
　　但这个向量的起点为，故其终点为
　　正方形 AA'BB的中心是对角线A'B的中点，故其坐标为
　　同理可知，其他三个正方形的中心是
　　利用前面的条件
　　立即可以算出
　　这就是说，线段和有相同的中点。也就是说，四边形，的对角线相互等分。其次，我们有
　　因此
　　这就是说和相互垂直，而且长相等，因此，是一个正方形.
　　综合解法，考虑三角形 和。我们知道
　　另一方面，我们知道
　　故
　　因此
　　从而得
　　同理可知
　　其次
　　因此
　　同理可知
　　故为正方形。
　　例4.平面上有一个固定的圆周K.圆外有一固定点A，圆周上有一动点B，对B的每一个位置，我们以AB为底作一正三角形△ABC.我们问：当B在圆周K上运动时，正三角形△ABC的第三个顶点C将会描出怎样的轨迹？
　　注意，以AB为底可以作出两个正三角形来。我们只考虑其中那样一个正三角形，当我们从A走向B时，这个正三角形出现在我们的右手边。
　　分析解法，我们以K的中心为原点，0A 联线为实轴引入一坐标系。设A在这坐标系中的坐标为a. 如果K的半径为R,则B的坐标将是.现在注意向量
　　向量是由向量顺着时针方向转得到的，所以但的起点为a，故C的坐标应是
　　从而
　　两边取模得
　　这就是说，C到这个点的距离永远是R，因此C的轨迹是以为中心，R为半径的圆周。
　　现在让我们看轨迹的圆心究竟在哪里。我们知道
　　因此
　　这就是说，轨迹的圆心是将向量反着时针方向转得到的向量的终点，因此，我们所要求的执述可以下法作出：以0A为底作一正三角形，以这个正三角形的第三个顶点为中心R为半径作 一圆，此圆即所要求的轨迹.
　　综合解法。以0A为底作正三角形 △OAD. 考虑三角形 △BAO 和△CAD.我们有
　　另一方面，
　　因此 ∠CAD=∠BAO. 从而得
　　故
　　因此C位于以D为中心，R为半径的圆周之上.
　　例5.设△ABC为任意三角形，以这个三角形的每个边为底，向外部作一正三角形. 证明这三个正三角形的重心是另一正三角形的三个顶点。
　　证，设三角形 △ABC 三个顶点的坐标为，向量是由向量顺时针方向转得到的，因此，如果记，则有
　　但A的坐标为，故的坐标为
　　三角形△AA'B的重心的坐标是
　　同理，其余两个三角形的重心是
　　这样一来，便有
　　但
　　故有
　　两边取模，封注意，得
　　即△为一正三角形。
　　三、一个有趣的数学竞赛题
　　以上举的四个例子，除了第1例之外，大致上属于同一类型，并且技巧性也不是太强的，下面这个题是一个外国数学竞赛题，我们也用分析方法来解它，由于这题较难，所以技巧性也较强，题目是这样说的：
　　在平面上给定了一个半径为1的圆和另外某n个点(可以在圆内，圆外，也可以在圆周上).证明在圆周上一定可以找到一个点M使得
　　为了证明这一事实，我们先证明一个公式，设
　　那么对任意整数来说
　　事实上，如果则
　　但
　　故有
　　即
　　现在我们在平面上以所给圆的圆心为原点引入一个坐标系，设
　　由于当z在单位圆周上时,故上式又可写成
　　其中
　　现在我们在平面上以所给圆的圆心为原点引入一个坐标系，设
　　由于当z在单位圆周上时,故上式又可写成
　　其中
　　我们的任务是要证明在单位园周上能找到一点z，使得为此目的，我们作一个内接于单位圆的正n+1边形，使得它的一个顶点为1.如命
　　则这个正n+1边形的顶点将是
　　我们证明这n+1个点中必有一个点，它满足条件
　　不然的话，我们将有
　　可是
　　两边相加，并注意
　　得
　　两边取模，并利用前面提到过的不等式得
　　这就得出了矛盾。这个矛盾说明，必有一个k，使得
　　由这个题的解法中我们还可以得出下面这样一个有趣的定理，这个定理在高等数学中有很重要的推广。
　　定理.如果多项式
　　的次数,则P（z）在任意圆内接正n边形的各个定点的值的平均等于它在圆心的值。（小编注：在《复分析：可视化方法》中，第92页有专门一节对此进行论述）
　　证.设圆心为a，圆的半径为R.首先我们证明，多项式P（z）可改写成
　　的形式。这一点可用数学归纳法来证。当m=0时，这是显然的。如果次数不大于k的多项式这一事实成立，那么对任意k+1次多项式
　　我们有
　　其中Q（z）为次数不大于k的多项式。根据归纳假设
　　因此
　　这就证明了我们的断言。注意当P（z）写成（1）那种形式时，它在圆心的值是
　　现在假设圆内接正n边形的一个顶点为
　　那么它的全部顶点将是
　　为了求得P（z）在这n个点上的值的平均，只要分别求出（1）中每项在这n个点的值的平均就行了。注意当时，k次项的平均值是
　　=0
　　而零次项的平均值仍是，故有