如图在abc中（如图在rtabc中acb90）

　　如图 在 abc中（如图在rt△abc中acb90）
　　找准相似三角形是解题关键（2020年上海第25题）
　　2020年上海市中考数学140分以上出现扎堆现象，整张试卷难度分布较为平缓，没有大起大落，前面的选填题依然存在个别＂小坑＂，压轴题难度相对往年有降低，导致最后一题看上去就像教材习题，当然，它也并不是如表面一般人畜无害，稍不留神，也会失手。
　　相似三角形对应边成比例，这很平常，选择合适的比例线段构造方程，是我们常用方法，哪些线段能入选取决于对题目的理解，而相似三角形，一定要找准。
　　题目
　　如图，在△ABC中，AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D.
　　(1)求证：∠BAC=2∠ABD；(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
　　(3)当AD=2，CD=3时，求边BC的长.
　　解析：
　　(1)一般而言，压轴题的第1小题，通常情况下需要一点＂秒杀＂技巧，我对这个词的理解，就是用最快捷的思路，直达终点。
　　有三角形，有外接圆，此时第一个想到的概念就是外心，沿这个思路下去，外心是三角形三边垂直平分线的交点，即连接OA之后，O点一定在△ABC中BC边的垂直平分线上，结合它是一个等腰三角形，联想到＂三线合一＂，于是OA摇身一变，成为∠BAC的角平分线，如下图：
　　∠ABD=∠BAO，且∠BAO是∠BAC的一半，即∠BAC=2∠ABD；
　　(2)当题目中出现＂等腰三角形＂且又未指明底和腰的时候，意味着分类讨论，对于△BCD，可能存在BD=CD或BC=CD两种情况，BD不可能等于CD。
　　当BD=CD时，如下图：
　　不妨设∠ABD=x，于是∠BAC=2x，求出∠BDC=3x，所以∠C=3x=∠ABC，在△ABC中，利用内角和定理列方程，得3x+2x+3x=180，解得x=22.5，所以∠BCD=67.5°；
　　当BC=CD时，如下图：
　　和前一种情况类似，区别在于此时∠DBC=∠BDC=3x，所以∠ABC=∠C=4x，依然在△ABC中，利用内角和定理列方程，得4x+2x+4x=180，解得x=18，所以∠BCD=72°；
　　(3)作为等腰三角形的底边BC， 求它的长度，又怎能不使用＂三线合一＂呢？因此将AO延长交BC于点E属于必作辅助线，同时我们也能轻松证明，AE就是BC边上的高、中线，如下图：
　　下面只需要求出BE的长度即可。
　　过点O作OF⊥AB，由等腰△ABC可知AB=5，于是OF在△AOB中也是底边上的中线，AF=5/2，为计算方便，不妨设OB=r，OD=t；
　　在上图中，有一对共边共角型相似三角形，△ABD∽△OAD，利用它得到的比例线段，我们推导如下：
　　在得到圆的半径r的值之后，两条路可走，一是计算∠FAO的正弦值，二是再利用△AOF∽△ABE，均能得到BE的长度，最后求出BC，推导如下：
　　解题反思
　　总体来看，上海的这道压轴题并不难，甚至可以说比去年要简单不少，在疫情影响下，这是正确的政治占位，值得肯定。
　　当然代价也是有，就是数学在中考各科中的甑别效应降低了，不过上海中考数学的区分，也从来不是仅靠后面的几道压轴题，前面的选填题一样也＂咬人＂，加上总分150分，稍不留神，也会拉开差距，像这种不押宝于最后几道大题的命题思路，也的确值得学习。
　　本题仍然采用常见数学模型，看上去非常亲切，圆中的内接三角形，还是等腰三角形，实在太平常，哪次模拟或小测没这类题目？然而依然有了新意，通常情况下，只要想到了那对相似三角形，后面的问题就容易许多，而在这种＂对称性＂很强的图形中，找到共边共角型相似，本身也极考验学生的观察图形能力。
　　命题不押宝，或者提高押宝代价，让猜题押题无利可图，也同样体现的是教育的公平性。