等边三角形（等边三角形怎么画）

　　等边三角形（等边三角形怎么画）
　　提要
　　等边三角形是特殊的三角形，拥有等腰三角形的一切性质。等边三角形每一个角都等于60度，60度的角是一个特殊角，往往与勾股定理，三角函数相联系，因而解答等边三角形问题通常作高将其转化为30度的直角三角形。
　　知识全解
　　一．定义与性质
　　（1） 定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也称为正三角形。
　　（2） 性质：等边三角形的各个角都等于60度。
　　二．判定
　　（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形。
　　（2） 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
　　提示：在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明。若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理（1）；若已知该三角形是等腰三角形，则选择判定定理（2）
　　典型例题
　　类型1 根据性质求角度
　　例1 如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P。
　　（1） 求证：CE=BF
　　（2） 求∠BPC的度数
　　【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证明△BCE≌△ABF
　　（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60，即∠PBC+∠PCB=60，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC的度数
　　【解答】（1）∵△ABC是等边三角形
　　∴BC=AB，∠A=∠EBC=60
　　∴在△BCE与△ABF中
　　BC=AB，∠A=∠EBC，BE=AF
　　∴△BCE≌△ABF（SAS）
　　∴CE=BF
　　（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF
　　∴∠BCE=∠ABF
　　∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60，即∠PBC+∠PCB=60
　　∴∠BPC=180-60=120
　　即∠BPC=120
　　【总结】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，根据条件发现三角形全等是解答本题的关键，难点在于根据三角形的外角进行等角转化。
　　类型2 证明等边三角形
　　例2 如图所示，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是线段AB，BC，CA上的点。
　　（1） 若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论
　　（2） 若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论
　　【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形
　　（2）先证明∠1+∠2=120，∠2+∠3=120，可得∠1=∠3。同理可得∠3=∠4，则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF。
　　【证明】（1）△DEF是等边三角形，证明如下：
　　∵△ABC是等边三角形
　　∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA
　　又∵AD=BE=CF
　　∴DB=EC=FA
　　∴△ADF≌△BED≌△CFE
　　∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形
　　（2）AD=BE=CF成立。证明如下：
　　∵△DEF是等边三角形
　　∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60
　　∴∠1+∠2=120
　　又∵△ABC是等边三角形
　　∴∠A=∠B=∠C=60
　　∴∠2+∠3=120
　　∴∠1=∠3
　　同理∠3=∠4
　　∴△ADF≌△BED≌△CFE
　　∴AD=BE=CF
　　【总结】判定一个三角形是等边三角形一般有两种思路：证明一个三角形有两个角是60度；证明一个三角形有两边相等，有一个角是60度。