三角形边的关系（三角形基础知识归纳总结）

　　三角形边的关系（三角形基础知识归纳总结）
　　一、知识归纳：
　　1、三角形的三边关系
　　任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 .
　　2、三角形的高、中线、角平分线
　　（1）三角形的高、中线、角平分线都是线段 .
　　（2）交点情况：
　　① 三条高所在的直线交于一点：
　　三角形是锐角三角形时交点位于三角形的内部；
　　三角形是直角三角形时，交点位于直角三角形的直角顶点；
　　三角形是钝角三角形时，交点位于三角形的外部 .
　　三角形的高
　　② 三角形的三条中线交于一点，交点位于三角形的内部，每条中线都把三角形分成面积相等的两个三角形 .
　　三角形的中线
　　③ 三角形的三条角平分线交于一点，交点位于三角形的内部 .
　　3、三角形的内角和
　　三角形内角和定理： 任何三角形的内角和都等于 180° .
　　三角形的三个内角
　　用数学符号表示为：在△ABC 中，∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° .
　　4、三角形的外角与内角的关系
　　（1）等量关系：
　　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
　　三角形的外角和为360° .
　　（2）不等量关系：
　　三角形的一个外角大于任何与它不相邻的内角 .
　　5、多边形
　　多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的图形叫做多边形 .
　　对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段 .
　　六边形
　　多边形对角线条数探索：
　　归纳总结：
　　（1）n 边形的内角和是（n - 2）180°，外角和是 360° ；
　　正 n 边形的每个内角是：
　　（2） 从 n 边形的一个顶点出发，可做( n - 3 )条对角线，把 n 边形分成( n - 2 )三角形，
　　所以 n 边形的内角和是( n - 2 )180°；
　　一个 n 边形一共有n ( n - 3 ) / 2条对角线 ( n ≥ 3 ) .
　　（3）如果一个角的两边分别平行于另一角的两边，则这两个角相等或互补；
　　如果一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角相等或互补.
　　二、习题练习
　　【三角形定义】
　　1．如图，图中直角三角形共有（C）
　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　　【三边关系】
　　1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B）
　　A．4cm，5cm，9cm
　　B．8cm，8cm，15cm
　　C．5cm，5cm，10cm
　　D．6cm，7cm，14cm
　　2．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（C）
　　A．1，1，2
　　B．1，2，4
　　C．2，3，4
　　D．2，3，5
　　3．已知三角形两边的长分别是 3 和 7，则此三角形第三边的长可能是（C）
　　A．1 B．2 C．8 D．11
　　4．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（B）
　　A．3，4，8
　　B．5，6，10
　　C．5，5，11
　　D．5，6，11
　　5．若长度分别为 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则 a 的值可以是（C）
　　A．1 B．2 C．3 D．8
　　6．下列长度的三条线段，能组成三角形的是 (D)
　　A. 2 , 2 , 4
　　B. 5 , 6 , 12
　　C. 5 , 7 , 2
　　D. 6 , 8 , 10
　　7．已知三角形两边的长分别为 1、5，第三边长为整数，则第三边的长为　5．
　　8．已知 a，b，c 是 △ABC 的三边长，a，b 满足 |a﹣7|+（b﹣1）2 = 0，c 为奇数，则 c =　7．
　　【三角形的内外角】
　　1、如图，将直尺与含 30° 角的三角尺摆放在一起，若 ∠1 = 20°，则 ∠2 的度数是（A）
　　A．50° B．60° C．70° D．80°
　　2、如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则 ∠1=（D）
　　A．30° B．25° C．20° D．15°
　　3、如图，AB∥CD，∠D = 42°，∠CBA = 64°，则 ∠CBD 的度数是（C）
　　A．42° B．64° C．74° D．106°
　　4、如图，直线 AD∥BC，若 ∠1 = 42°，∠BAC = 78°，则 ∠2 的度数为（C）
　　A．42° B．50° C．60° D．68°
　　5、如图，在 △ABC 中，CD 平分 ∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E．
　　若 ∠A=54°，∠B=48°，则 ∠CDE 的大小为（C）
　　A．44° B．40° C．39° D．38°
　　6．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在 △ABC 外的 A' 处，折痕为 DE．
　　如果 ∠A = α，∠CEA′ = β，∠BDA' = γ，那么下列式子中正确的是（A）
　　A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β
　　7．如图，∠ACD 是 △ABC 的外角，CE 平分 ∠ACD，若 ∠A=60°，∠B=40°，则 ∠ECD 等于（C）
　　A．40° B．45° C．50° D．55°
　　8．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30° 角的三角板的一条直角边和含 45° 角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 ∠α 的度数是（C）
　　A．45° B．60° C．75° D．85°
　　9、如图，点 D 在 △ABC 边 AB 的延长线上，DE∥BC．若 ∠A = 35°，∠C = 24°，
　　则 ∠D 的度数是（　B　）
　　A．24° B．59° C．60° D．69°
　　10．如图，∠B = ∠C = 90°，M 是 BC 的中点，DM 平分 ∠ADC，且 ∠ADC = 110°，
　　则 ∠MAB =（　B　）
　　A．30° B．35° C．45° D．60°
　　11．如图，墙上钉着三根木条 a，b，c，量得 ∠1=70°，∠2=100°，那么木条 a，b 所在直线所夹的锐角是（B）
　　A．5° B．10° C．30° D．70°
　　12．已知直线 m∥n，将一块含 45° 角的直角三角板 ABC 按如图方式放置，其中斜边 BC 与直线 n 交于点 D．若 ∠1 = 25°，则 ∠2 的度数为（C）
　　A．60° B．65° C．70° D．75°
　　13、已知：如图，△ABC 是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
　　14．如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的中点，连结 AD，BE 平分 ∠ABC 交 AC 于点 E，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．
　　（1）若 ∠C = 36°，求 ∠BAD 的度数．（答案：54°）
　　（2）若点 E 在边 AB 上，EF∥AC 交 AD 的延长线于点 F．求证：FB = FE．
　　【三角形的重要线段】
　　1．如图，在 △ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是 △ABC 的中线，则该线段是（　B　）
　　A．线段 DE B．线段 BE C．线段 EF D．线段 FG
　　2．如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是 ∠BAC、∠ABC 的平分线，∠BAC = 50°，∠ABC = 60°，则 ∠EAD + ∠ACD =（　A　）
　　A．75° B．80° C．85° D．90°
　　3、若线段 AM，AN 分别是 △ABC 边上的高线和中线，则（D）
　　A. AM > AN
　　B. AM ≥ AN
　　C. AM < AN
　　D. AM ≤ AN
　　4．在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, ∠A=40°, △ABC 的外角 ∠CBD 的平分线BE交 AC 的延长线于点 E．
　　（1）求 ∠CBE 的度数；（答案： 65°）
　　（2）过点 D 作 DF∥BE，交 AC 的延长线于点 F，求 ∠F 的度数．（答案： 25°）
　　【三角形的稳定性】
　　1．下列图形具有稳定性的是（A）
　　【多边形】
　　1．如图，在五边形 ABCDE 中，∠A + ∠B + ∠E = 300°，DP、CP 分别平分 ∠EDC、∠BCD，
　　则 ∠P=（C）
　　A．50° B．55° C．60° D．65°
　　2．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 =　360度．
　　3、通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是　540度．
　　4．一个 n 边形的每一个内角等于108°，那么 n =　5．
　　5、若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是　8．
　　6、五边形的内角和是　540°．