全微分怎么求（全微分公式推导）

　　牛顿332、画出来的切线有误差；代数法求点的斜率；微分基本公式推导
　　微分（百度百科）：
　　…微、分、微分：见《牛顿321~330》…
　　…
　　多元型
　　…元：见《欧几里得45》…
　　（…《欧几里得》：小说名…）
　　…型：见《伽利略9》…
　　（…《伽利略》：小说名…）
　　当自变量为多个时，可得出多元微分的定义。
　　…量：见《欧几里得27》…
　　…定、义、定义：见《欧几里得28》…
　　一元微分又叫常微分。
　　切线微分
　　…切、线、切线：见《牛顿288》…
　　1、当自变量为固定值
　　需要求出曲线上一点的斜率时，前人往往采用作图法，将该点的切线画出，以切线的斜率作为该点的斜率。
　　…斜、率、斜率：见《牛顿289》…
　　然而，画出来的切线是有误差的。
　　…误、差、误差：见《牛顿64》…
　　也就是说，以作图法得到的斜率并不是完全准确的斜率。
　　…完、全、完全：见《欧几里得39》…
　　微分最早就是为了从数学上解决这一问题而产生的。
　　…数、学、数学：见《欧几里得49》…
　　以y=x^2 为例，我们需要求出该曲线在（3，9）上的斜率，当△x与△y的值越接近于0，过这两点直线的斜率就越接近所求的斜率m。
　　…^：乘方…
　　…x^2：x的平方…
　　…△：读音是＂德尔塔＂。音标为/deltə/。
　　在物理学中，△常常作为变量的前缀使用，表示该变量的变化量，如：△t（时间变化量）、△T（温度变化量）、△X（位移变化量）、△v（速度变化量）等等…见《牛顿8》…
　　当△x与△y的值变得无限接近于0时，直线的斜率就是点的斜率。
　　当x=3 Δx时，y=9 Δy，也就是说：
　　（3 △x）^2=9 Δy
　　→3^2 △x^2 2×3×△x=9 Δy
　　→9 △x^2 6△x=9 Δy
　　→△x^2 6△x=Δy
　　（两边减去9）
　　→△x 6=Δy/△x
　　（两边除以△x）
　　∵ m=（△x→0）lim Δy/△x [m为曲线在（3，9）上的斜率，Δy/△x为直线斜率]
　　…lim：极限符号，limit的前三个字母…
　　[…极、限、极限：见《欧几里得218~300》…
　　…limit（英文）：n.限度；限制；极限；限量；限额；（地区或地方的）境界，界限，范围。
　　v.限制；限定；限量；减量…]
　　∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=（△x→0）lim （6 △x）=6 （△x→0）lim △x=6
　　我们得出，y=x^2在点（3，9）处的斜率为6。
　　2、当自变量为任意值
　　在很多情况下，我们需要求出曲线上许多点的斜率。
　　如果每一个点都按上面的方法求斜率，将会消耗大量时间，计算也容易出现误差。
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
　　…时、间、时间：见《伽利略10》…
　　…计、算、计算：见《欧几里得157》…
　　这里我们仍以y=x^2 为例，计算图象上任意一点的斜率m。
　　假设该点为（x，y），做对照的另一点为（x △x，y Δy），我们按上面的方法再计算一遍：
　　…方、法、方法：见《欧几里得2、3》…
　　（x △x）^2=y Δy
　　→x^2 △x^2 2×x·△x=y Δy
　　∵ y=x^2
　　∴ x^2 △x^2 2×x·△x=x^2 Δy
　　→△x^2 2×x·△x=Δy
　　（两边减去x^2）
　　→△x 2x=Δy/△x
　　（两边除以△x）
　　∵ （△x→0）lim（△x 2x）=2x （△x→0）lim △x=2x
　　∴ m=（△x→0）lim Δy/△x=2x
　　我们得出，y=x^2在点（x，y）处的斜率为2x。
　　3、从二次函数到幂函数
　　…函、数、函数：见《欧几里得52》…
　　…幂：见《欧几里得113》…
　　通过以上的方法，我们可以得出x的二次函数在任意一点上的斜率。
　　但这远远不够。
　　我们需要把这种方法扩充到所有幂函数：
　　（x △x）^n=y Δy
　　→x^n nx^（n-1）△x … nx△x^（n-1） △x^n=y Δy （二项展开式）
　　∵ y=x^n
　　∴ x^n nx^（n-1）△x … nx△x^（n-1） △x^n=x^n Δy
　　→nx^（n-1）△x … nx△x^（n-1） △x^n=Δy
　　（两边减去x^2）
　　→nx^（n-1） … nx△x^（n-2） △x^（n-1）=Δy/△x
　　（两边除以△x）
　　加上极限：
　　（△x→0）lim[nx^（n-1） … nx△x^（n-2） △x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x
　　∴ nx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x
　　（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）
　　即：（△x→0）lim Δy/△x=nx^（n-1）
　　我们得出，y=x^n在点（x，y）处的斜率为nx^（n-1）。
　　4、从幂函数到单项式
　　…单项式（百度百科）：由数和字母的积组成的代数式叫做单项式。
　　单独的一个数或一个字母也叫做单项式（0可看做0乘a，1可以看做1乘指数为0的字母，b可以看做b乘1）。
　　分数和字母的积的形式也是单项式…
　　（…形、式、形式：见《欧几里得13》…）
　　…单项式（百度汉语）2：没有加、减运算的整式。
　　其中数字因数（包括数和表示常数的字母）称为单项式的系数。
　　各自变数称为单项式的元，各元指数之和称为单项式的次数，如3xy^3·z^2是三元六次单项式，其系数是3。
　　任一非0数都可看作单项式，称为0次单项式。
　　0则称为0单项式，次数不定…
　　（…运、算、运算：见《欧几里得121》…
　　…常、数、常数：见《欧几里得132》…
　　…系、数、系数：见《牛顿2》…）
　　我们可以把幂函数的斜率扩展到单项式函数y=ax^n的斜率，依然假设有两点（x，y）和（x △x，y △y）:
　　a（x △x）^（n 1）=y Δy
　　→ax^n anx^（n-1）△x … anx△x^（n-1） a△x^n=y Δy （二项展开式）
　　∵ y=ax^n
　　∴ ax^n anx^（n-1）△x … anx△x^（n-1） a△x^n=ax^n Δy
　　→anx^（n-1）△x … anx△x^（n-1） a△x^n=Δy
　　（两边减去ax^n）
　　→anx^（n-1） … anx△x^（n-2） a△x^（n-1）=Δy/△x
　　（两边除以△x）
　　加上极限：
　　（△x→0）lim[anx^（n-1） … anx△x^（n-2） a△x^（n-1）]=（△x→0）lim Δy/△x
　　∴ anx^（n-1）=（△x→0）lim Δy/△x
　　（其他项均带有△x，在△x→0的情况下都可以视为等于0）
　　即：（△x→0）lim Δy/△x=anx^（n-1）
　　我们得出，y=ax^n在点（x，y）处的斜率为anx^（n-1）。
　　这就是微分的基本公式。
　　…基、本、基本：见《欧几里得2》…
　　…公：见《欧几里得1》…
　　…式、公式：见《欧几里得132》…
　　注意：基本公式极为重要，在学习更为复杂的运算法则前请务必牢记。
　　…学、习、学习：见《牛顿160》…
　　…复、杂、复杂：见《欧几里得133》…
　　…法、则、法则：见《欧几里得108》…
　　（△x→0）lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m
　　（本质相同；一种本质的两种说法。
　　…本、质、本质：见《欧几里得22》…）
　　5、多项式
　　当函数为几个ax^n 形式的单项式的和或差时，这个函数的导数只需在单项式的导数上进行加减即可。
　　…导、数、导数：见《牛顿288~294》…
　　以函数y=ax^m bx^n为例，将其拆分为两个函数u=ax^m和v=bx^n，且y=u v。
　　可以得出du/dx=amx^（m-1），dv/dx=bnx^（n-1）。
　　y △y=（u △u） （v △v）
　　∵ y=u v
　　∴ y △y=（u △u） （v △v）
　　→u v △y=（u △u） （v △v）
　　→△y=△u △v
　　两边除以△x：△y/△x=△u/△x △v/△x
　　∵ （△x→0）lim Δy/△x=m被记作dy/dx=m；△y/△x=△u/△x △v/△x
　　∴ dy/dx=du/dx dv/dx=amx^（m-1） bnx^（n-1）
　　→d（ax^m bx^n）/dx=amx^（m-1） bnx^（n-1）
　　同理可以得出d（ax^m-bx^n）/dx=amx^（m-1）-bnx^（n-1）
　　最后得出公式：
　　d（ax^m±bx^n）/dx=amx^（m-1）±bnx^（n-1）
　　有了这两个公式，我们可以对大部分常见的初等函数求导。
　　＂d（a）/dx=0
　　请看下集《牛顿333、微分运算法则；常数的导数为什么是0？》＂
　　若不知晓历史，便看不清未来
　　欢迎头条号＂人性的游戏＂