定角定中线一类不一样的隐形圆模型

　　说到＂隐形圆模型＂，相信大家都不陌生了，很多省市中考会在这一模型上大做文章，尤其是陕西地区，会把这类问题结合生活实际应用，作为压轴题出现，一般难度比较大，有较高的区分度。
　　随着网络的传播、线上线下辅导机构以及学校老师不断给学生们补充和总结，这些模型已经逐渐被大多数学生掌握，这将导致中考题目也会越来越灵活。
　　在竞争日益激烈的中考当中，想要取得好成绩，考得一个好的高中，对学生来说越来越难！尤其在西安这样的教育大市，想要考入五大名校更是难上加难！
　　数学这一科是拉开分数差距比较关键的一科，在去年的中考里，取得满分的学生非常多，这就要求大家不仅要保证速度和正确率，还要在平时把所有可能会出现的数学模型牢牢掌握，从容应对千变万化的中考题目。
　　今天给大家介绍一种比较少见的＂隐形圆＂模型，叫做＂定角定中线＂三角形。
　　一、模型解读
　　如图，在△ABC中，∠BAC的大小是定值，中线AD的长为定值，满足以上条件的三角形称为＂定角定中线＂三角形。这类模型其实是＂定弦定角＂隐形圆的变形，解决办法是通过倍长中线法，将其转化为我们更熟悉的＂定弦定角＂模型。
　　【例题分析】
　　【例1】如图，在△ABC中，∠BAC=45°，D是BC边的中点，AD=2，求△ABC面积的最大值。
　　【解析】延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE，∵AD=2，∴AE=4，
　　易证AC∥BE，∵∠BAC=45°，∴∠ABE=135°，（则△ABE是一个定弦定角三角形）
　　易证△ACD≌△EBD，∴S△ABC=S△ABE，要使△ABC面积的最大，只需△ABE面积最大，
　　（这时大家应该比较熟悉了，＂定弦定角＂求面积最大值，下面是常规套路）
　　作△ABE的外接圆⊙O，连接OA，OE，过B作BH⊥AE，连接OD并延长，交⊙O于B＂，
　　∵∠ABE=135°，∴∠AOE=90°，
　　∵AE=4，∴OA=OE=OB＂=2√2，，OD=2.
　　要使△ABE面积最大，只需高BH最大，明显当B与B＂重合时，高最大，
　　【例2】如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是BC边的中点，AD=，求AB+AC的最大值。
　　【简答】延长AD至E，使DE=AD，连接BE、CE，∵AD=√3，∴AE=2√3，
　　易证AC∥BE，∵∠BAC=60°，∴∠ABE=120°，
　　延长AB至F，使BF=BE，连接EF，则∠F=60°，（则△AFE是一个定弦定角三角形）
　　作△AFE的外接圆⊙O，连接OA，OE，则∠AOE=2∠F=120°，
　　∵AE=2√3，∴OA=OE=2，当AF为⊙O的直径时，AF最大，最大值为4，
　　∴AB+AC的最大值为4.
　　中考题目往往会贴近实际生活，结合实际问题来设计题目，这样会导致题目阅读量提高很多，同学们要善于挖掘题目当中的有用信息，将文字语言转化为数学语言，下面通过一道实际问题，来看一下上面所讲述的方法如何运用。
　　【试题分析】当我们读完题目后，要抓取其中的重要信息，一个是角CBE是定角120度，AB的长为50，是定长，而且AB是三角形BCE的中线，满足＂定角定中线＂三角形的条件，所以我们想到用倍长中线的办法，将其转化为＂定弦定角＂模型，如图，也就是三角形BED.
　　要求平行四边形面积的最大值，只需要求三角形BDE面积的最大值即可。以BD为底，当它的高经过圆心时最大，此时面积也就最大，从而四边形面积的最大值即可求得。