名师系列函数最值隐含形的几类问题处

　　作者：蔡路，天津师范大学教师教育学院。
　　一、文章摘要
　　函数最值隐含＂形＂的问题主要是指利用函数的几何特征( 形状、大小、相互位置关系) 来解决最值问题。这类题不仅考查学生对知识的融会贯通程度，还考查学生对知识迁移交叉应用的能力( 如运用几何特征解决代数问题) 。目前，受教材知识体系编排的制约，中学数学教材的重中之重仍是代数。初中三年的平面几何，基本上是从公理到定理、从定理到定理的反复演练，与代数的交叉、沟通极其有限。高考加强对这类题的考查，一是弥补了教材编排的不足，二是督促学生建立＂数形结合＂的意识，提高迁移交叉应用能力。
　　二、试题呈现
　　本文现以2014 年数学高考题为例，以题目覆盖知识点的单一或综合程度为划分标准，将函数最值隐含＂形＂的问题分两大类七小类进行总结。
　　三、题型梳理
　　下面从七种题型逐一分析各自题型的解题策略。
　　题型1:一次函数( 简单线性规划) 的最值问题
　　简单线性规划最值问题隐含的＂形＂有两处：一是线性约束条件的图形化；二是目标函数的图形化。
　　题型2:绝对值函数的最值问题
　　绝对值函数最值问题隐含的＂形＂主要涉及到绝对值的几何意义，即|x－a|表示数轴上点x到点a的距离。对于形如f(x)=m|x+a|+n|x+b|，(m，n，a，b＞0)的函数，可利用绝对值的几何意义来求最值。
　　题型3:复合函数与分段函数的最值问题
　　最值问题多是高中常见基本初等函数的复合或分段，此类函数隐含的＂形＂需注意函数与其定义域的对应，画出正确的函数图象来解决问题。
　　题型4:三角函数的最值问题
　　三角函数最值问题隐含的＂形＂主要是指函数y=Asin(ωx+φ)+k的平移伸缩问题，这类问题属于仿射变换，图形间的相对位置关系不变。因此可将(ωx+φ)看作整体x，然后利用函数y=sinx图象的性质解决原函数的问题；或是直接利用y=sinx图象中的相对位置关系解决原函数的问题。
　　题型5:导数的最值问题
　　导数最值问题隐含的＂形＂是指通过导数判断原函数的增减趋势及拐点，从而绘制草图，通过图形辅助解题。
　　题型6:一次函数与圆锥曲线结合的最值问题
　　一次函数与圆锥曲线最值问题隐含的＂形＂表现在求一次函数与圆锥曲线所形成图形( 线段、三角形、四边形等) 长度、面积的最值问题时，长度、面积的表达式通常是熟悉函数解析式( 三角函数、反比例函数、对勾函数) ，此时需用函数的图象求出最值。
　　题型7:函数与向量的最值问题
　　函数与向量最值问题隐含的＂形＂主要是指，灵活地将向量转化为熟悉的函数( 如一次函数、三角函数) ，然后用函数图象的性质解决问题；或是将向量转化为熟悉的几何图形，用图形的性质解决问题。
　　四、文章小结
　　运用＂数形结合＂方法，分析函数的最值问题，是一种重要的解题手段。从上述高考试题可以看出，运用＂数形结合＂方法分析题目往往能令解题思路更加清晰，从而高效地解决问题，达到事半功倍的效果。对于单一函数问题，一方面通过挖掘不等式、绝对值等数量关系直观的几何意义，从而运用数形结合的方法快速地解决问题；另一方面利用导数描绘出函数的形状，从图形着手找出解决问题的突破口。对于函数与其它知识综合的最值问题，一方面是将问题转化为熟悉的函数，进而运用函数的图象解决问题；另一方面是直接考虑数量关系的几何图形，从而转化为图形间的问题，再运用图形的几何性质加以解决。