良好的数学认知结构的特征

　　数学认知结构是数学知识结构在学习者头脑里的反映，它是学习者在学习的过程中逐步积累起来的在数学方面的观念系统。这些观念可能包括三种类型：一是基本观念(言语信息或表象信息)，它是学习者通过学习一些数学概念和数学命题之后形成的；二是数学具体方法的观念，它是学习者在运用基本观念来解决问题的过程中形成的：三是数学问题解决策略的观念。就一个具体的新知识的学习而言，根据美国教育心理学家奥苏贝尔的观点可知，良好的数学认知结构有三个特征；一是可利用性，即在学习者原有的数学认知结构中有适当的起同化作用的观念可以利用；二是可辨别性，即新知识与学习者原有的数学认知结构中的相关观念是可辨别的：三足稳定性，即同化新知识的原有的观念是清晰和稳定的。从数学问题解决的角度宋考察，良好的数学认知结构的特征包括以下四个方面：
　　1.足够多的观念
　　现代认知心理学关于＂专家系统＂的研究表明，在某个领域内善于解决问题的专家必须具备上万个知识组块，没有这些专门的知识，专家就不能解决该领域内的技术问题。在许多专门领域，如工程学、计算机程序、社会科学、阅读理解、物理、数学和医疗诊断等，将＂专家＂和＂新手＂作比较，都证明了解决问题的能力取决于个人所获得的有关知识的多少及其组织结构。根据笔者长期从事数学竞赛辅导工作的经验，绝人多数IMO选手，除了具备一定的数学天赋之外，他们必需系统接受过各种专题知识的训练。在各种专家的辅导下，他们的认知结构中积累了丰富的专门知识。
　　2.具备稳定而又灵活的产生式
　　足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。甚至问题解决者己具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。一些新教师经常向笔者＂诉苦＂，自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一让学生自己作业和考试就不行。他们失败的原因不是缺乏所需的具体知识观念，而是缺乏与具体知识相对应的稳定的产生式。学习者在学习的过程中，其头脑里逐步贮存了一系列以＂如果…，那么…＂的形式表示的规则，这种规则称为产生式(Production)；产生式是一种＂条件一活动＂规则，简记为C—A，只要条件信息一出现，活动就会自动产生。这里所说的活动不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算。
　　足够多的观念仅仅是问题解决的必要条件。也就是说，你头脑中的知识越多，并不意味着你解决问题的能力越强。甚至问题解决者己具备了解决某一问题所需的全部知识，但却解决不了这个问题。一些新教师经常向笔者＂诉苦＂，自己备课十分认真，课也讲得头头是道，学生对知识的提问反应也不错，可一让学生自己作业和考试就不行。他们失败的原因不是缺乏所需的具体知识观念，而是缺乏与具体知识相对应的稳定的产生式。学习者在学习的过程中，其头脑里逐步贮存了一系列以＂如果…，那么…＂的形式表示的规则，这种规则称为产生式(Production)；产生式是一种＂条件一活动＂规则，简记为C—A，只要条件信息一出现，活动就会自动产生。这里所说的活动不仅是外显的行为反应，还包括内隐的心理活动或心理运算。
　　3.层次分明的观念网络结构
　　解决问题的思路探索过程实质上由一连串的产生式构成。在问题解决者具备相关稳定的产生式的前提下，如何从问题情境中识别出相关信息并与众多的产生式中的条件信息相匹配是成功解决问题的关键。我们在前面已经指出，某一领域内善于解决问题的专家的认知结构中有上万个知识块。这些知识块不仅是具体知识的观念，而且大多数是产生式。因此，如果这些数以万计的产生式组织得不好，那么问题解决者是很难从中检索出与问题情境相匹配的条件信息。就好比一座图书馆，如果里面的书籍杂乱无章，乱堆乱放，那么，要找一本书时就会困难重重。反之，如果里面的书籍存放有序，类别分明，那么查找就很容易。所以，除了具备足够多的观念和稳定而又灵活的产生式之外，要建构良好的数学认知结构，学习者还必须对所习得的知识信息进行加工整理，使之形成一个个的知识组块，并对这些知识组块再进行组织、分类和概括，使之形成一个有层次有条理的知识网络结构，这样，就可以提高信息的检索效率。
　　4.一定的问题解决策略的观念
　　某一问题领域内的专家解决问题的能力之所以比新手强，主要的原因之一是专家的认知结构中有着比新手多得多的问题解决策略的观念。因此，良好的数学认知结构必须包括一定的问题解决策略的观念。如表征问题的策略、波利亚的策略、奥加涅相的策略、舍费尔德的策略、化陌生为熟悉的观念、化繁为简的观念、特殊与一般的互化的观念、正难则反的观念、顺推与逆推之结合的观念、动静之转化的观念等等。这种观念的形成不是一蹴而就的，要靠长期的学习、反思和总结。