一线三等角与剑桥大学一道几何题

　　题：如图1，平行四边形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且DE=DF，AE=2，CF=3，∠A=∠EBF=60°，求EF的长。
　　分析：根据已知条件，在等腰ΔDEF中，∠D=120°，所以欲求EF的长，只需要先求DE的长即可。因此，设DE=DF=a，则平行四边形的边AB=DC=a+3，AD=BC=a+2。
　　由∠A=∠EBF=60°，联想到＂一线三等角＂，故延长AB到G，使BG=BC，连接GC并延长交BF延长线于H，交AD延长线于O（如图2）。则
　　ΔBCG和ΔOAG都是等边三角形，所以OC=DC=a+3，CG=BC=a+2。
　　设OH=x，则HC=x+a+3，
　　HG=x+a+3+a+2=x+2a+5。
　　在ΔHBG与ΔBEA中，
　　因为∠EBG=∠A+∠AEB，
　　即∠EBF+∠HBG=∠A+∠AEB，
　　又因为∠EBF=∠A=60°，
　　所以∠HBG=∠AEB，
　　又∠G=∠A=60°，
　　所以ΔHBG∽ΔBEA，
　　所以HG/AB=BG/EA,
　　所以(x+2a+5)/(a+3)=(a+2)/2………①
　　在ΔHFC与ΔHBG中，
　　因为FC∥BG，
　　所以FC/BG=HC/HG，
　　所以3/(a+2)=(x+a+3)/(x+2a+5)，
　　所以
　　1-3/(a+2)=1-(x+a+3)/(x+2a+5)-1，
　　即(a-1)/(a+2)=(a+2)/(x+2a+5)，
　　也即(a+2)/(x+2a+5)= (a-1)/(a+2)…②
　　① ×②，消去x，得：
　　(a+2)/(a+3)=(a-1)/2，
　　去分母，得2(a+2)=(a-1)(a+3)，
　　化简、整理，得：a^2=7，
　　所以a=√7，
　　所以EF=√3a=√21.