模型研究解斜三角形在锐角三角比中

　　来源：爱在数学；作者：郭庆明
　　解直角三角形就是：在直角三角形中由已知元素求出未知元素的过程，我们知道解直角三角形的条件可分为两大类：①、已知一锐角、一边（一锐角，一直角边或斜边）②、已知两边（一直角边，一斜边或两条直角边）。
　　那么对于非直角三角形给定一些边角要素，又该如何求出其它未知边角要素呢？这叫涉及到将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题，体会数学中转化的思想。遇斜三角形，主要采取化斜为直的方式，即作高分割成两个直角三角形，运用勾股定理及三角比求解。
　　常见类型有：
　　（一）已知两边和一角或一角的三角比：①两边及其中一边对角的度数或对角的三角比；②两边及两边夹角的度数或夹角的三角比；
　　（二）已知两角的度数或三角比及一边；
　　（三）已知三边的长度。
　　两边及一角
　　分析
　　解关于两边及一角的斜三角形在翻折题中的体现，综合性较强，首先根据图形的运动作图，补图；其次关注解决翻折运动中得不变量以及新生成图形（本题就是平行四边形AEBD）；最后识别出△DBC为可解斜三角形，再转化成解直角三角形（识别及勾股）。
　　分析
　　以图形的运动---旋转为背景的一道试题。先补图，利用三要素来作图；其次把握旋转前后的不变量，△CAE≌△CBA，CD=CF；关注新生成图形或基本图形关系（△ABG∽△CFG）。最后将问题聚拢到一个可解的斜△AEG上，再化斜为直，解直角三角形。
　　分析
　　第（1）问关于求解已知角的三角比，化繁为易，利用转化思想，将∠AFB转化为∠CBD。
　　第（2）关于线段乘积为定值的问题一般是利用基本图形关系---相似三角形的对应边成比例，列出比例式，再交叉相乘。
　　由于（2）（3）两问的设置相互关联，层层递进，故只需求出CE，所求讨论△BEG与△BGF，实则转化讨论△BGE与△BCE，发现特殊图形等腰Rt△BEA，最终转化成解斜三角形BCE。
　　两角及一边
　　分析
　　把握翻折运动中的不变量---对应角相等，∠B1DA=∠BDA=75°，利用三角形内角和定理得出∠DAB=45°，而∠B=60°，进而将问题转化成已知两角及一边的可解斜三角形。
　　先利用图形的运动---旋转来作图；其次把握旋转中的不变量，边、角进行简单的角度计算。最终转化成解斜△ABE。
　　分析
　　第（1）问关于证等线段，主要从全等；等角对等边；或比例线段等量代换等方式解决；
　　第（2）关于面积比的问题，主要从：相似三角形面积比等于相似比的平方；共高或共底的三角形面积比转化成底之比或高之比
　　所求线段OP，已知定线段OB，故将目光聚焦到△OBP上，利用角度之间的和差计算，可知△OBP是已知两角及一边的可解斜三角形，故再次转化成解直角三角形。需注意的是两解（A在直线OM上）
　　已知三边
　　分析
　　对于已知三定点的三角形，实则知道三边的长度，求锐角的三角比，均可采用通法：双勾股进行计算。当然方法比较多，不唯一，在特定的背景下，也会产生相对应的技巧解法。
　　本文通过几道例题的形式展示＂解斜三角形＂在中考题以及模考题中的体现，其重要性不言而喻，类似于解直角三角形，知其有哪几种类型，最终将其转化为解直角三角形的问题，添高运用三角比结合勾股定理。往往在几何综合题中，其背景很多，结合图形的运动、四边形、圆、函数等进行考查。
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