1、比例 表示两个比值相等的式子叫做比例。 (1)判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。 (2)组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。 (3)比例的基本性质: 在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。 (4)已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项,求比例其中一个未知项,叫做解比例。 (5)比例写成分数的形式后,那么,左边的分母和右边的分子是内项;左边的分子和右边的分母是外项。 例:6:4=3:2,分数形式:6/4=3/2 2、正比例与反比例 (1)正比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中相对应的两个数的比值(商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种关联的量,用k表示它们的比值(一定),成正比例关系用字母表示:y/x=k 例:路程÷速度=时间,因此路程与速度成正比例关系。 (2)反比例 两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种关联的量,用k表示它们的乘积(一定),成反比例关系用字母表示:xy=k 例:速度×时间=路程,因此速度与时间成反比例关系。 3、比与比例的区别 比表示两个数相除(有两项,前项和后项) 比例表示两个比相等的式子(有四项,两个内项,两个外项)。 4、比例的应用 (1)比例尺是表示图上一条线段的长度与地面相应线段的实际长度之比。 公式为:比例尺=图上距离与实际距离的比 或:比例尺=图上距离/实际距离 图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺 (2)比例尺有三种表示方法:数值比例尺、图示比例尺和文字比例尺。 比例尺通常有三种表示方法。 ①数字式(又名数字比例尺),用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小。例如:1∶50000,或1/50000。 ②线段式(又名图示比例尺),在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离。 ③文字式,在地图上用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少米,如:图上1厘米相当于地面距离500米,或五万分之一。 (三种表示方法可以互换。必须化单位。) 在绘制地图和其他平面图的时候,需要把实际距离按一定的比缩小(或扩大),再画在图纸上。这时,就要确定图上距离和相对应的实际距离的比。一幅图的图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。 (在比例尺计算中要注意单位间的换算) (1公里=1千米=1000米=100000厘米) 单位换算:图上用厘米,实地用千米,厘米换千米,去五个零;千米换厘米,在米的基础上再加两个零。 (3)比例尺的使用 根据地图上的比例尺,可以量算图上两地之间的实地距离;根据两地的实际距离和比例尺,可计的图上距离;根据两地的图上距离和实际距离,可以计算比例尺。 根据地图的用途,所表示地区范围的大小、图幅的大小和表示内容的详略等不同情况,制图选用的比例尺有大有小。地图比例尺中的分子(前项)通常为1(1:1000),分母越大,比例尺就越小。 (4)放大比例尺和地图比例尺的计算方法相同。但放大比例尺是指图上距离比实际距离放大的倍数。如:原长度为1cm的零件,画在图纸上为10cm,则这幅图的比例尺为10:1。 放大比例尺的分母(后项)通常为1(100:1)。分子越大,比例尺就越大,内容也越详细,精度越高。 (5)缩小比例尺的分子(前项)通常为1。如:1:100(1/100) 扩大比例比号(后项)通常为1.如100:1(100/1) 生活中的比例尺:地图,绘图、测量、田地、航空、公路、航海,建筑。 5、鸽巢问题又称抽屉原理或狄利克雷原理,它是组合数学中最简单也是最基本的原理之一。 鸽巢问题的计算方法 (1)物体数÷鸽巢数(抽屉数)=商......余数 不能整除时:至少数=商+1 能整除时:至少数=商 用字母表示: ①有kn+b(b大于或等于0,但小于n,k、n、b都为整数)支笔放进n个笔筒,当b=0时总有一个笔筒至少有k支笔。 ②当b不等于0时,总有一个笔筒至少有k+1支笔 例:有7封信,任意投入3个信箱里,那么一定有一个信箱至少有3封信。 7÷3=2......1 至少数=2+1=3 (2)知道抽屉数和至少数(同类),求物体数时: 物体数=鸽巢数(抽屉数)×(至少数-1)+1 当至少数等于2时,物体数=鸽巢数(抽屉数)+1 例:盒子里有同样大小的红球、黄球各4个,要想摸出的球一定有两个同色的,最少要摸出几个球? 4×(2-1)+1=5(个) (3)知道抽屉数和至少数(不同类),求物体数时: 物体数=抽屉数×(至少数-1)+1 例:盒子里有同样大小的红球、黄球各4个,要想摸出的球一定有两个不同色的,最少要摸出几个球? 4×(2-1)+1=5(个) (4)知道物体数和至少数求抽屉数 (物体数-1)÷(至少数-1)=商(抽屉数)......余数 例:把25个白球最多放进几个盒子里,才能保证至少有一个盒子里有5个白球。