什么叫奇函数(什么是函数的奇偶性)
什么叫奇函数(什么是函数的奇偶性)
(学习算法必备数学知识)
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下面的基础数学知识涉及很多数学公式,头条号不支持Markdown格式,这些公式编辑起来真是累S我了。如果大家觉得有收获请帮忙点个赞、收个藏之类,这是对几天我写这篇文章的最大鼓励了,谢谢大家!
由于文章较长,头条号的字数限制,文章将分成3部分,本文是第1部分,第2部分内容参考文章末尾的了解更多。
在机器学习的过程中,用到了很多算法知识,而算法中用到很多推导和计算,涉及到很多初中数学、高中数学、高等数学中的知识。在市面的机器学习书籍中,往往最基础的代数运行、多项式运算、函数等没有涉及,这对很多毕业多年的人来说或数学基础不好的人来说,在学习的过程中并不是很顺畅。而市面也没有一本数学大全将不同的数学知识涵盖起来。因此,笔者梳理了人民教育出版社的初中数学、高中数学,同济大学出版的高等数学中算法学习相关的16个知识点,方便学习和复习。
数学包括对数量(数论/算术)、结构(代数)、空间(几何)、变化(分析)的研究,还包括逻辑、集合、应用数学等方面的研究。
01、初中数学 - 数论中的数学概念
- 整数:正整数,0,负整数统称为整数
- 分数:正分数,负分数统称为分数
- 有理数:整数和分数统称为有理数(rational number)
- 相反数:正负的两个数互为相反数(opposite number)
- 倒数:一个数x与其相乘为1的数,即为1/x,其中x!=0
- 无理数:无限不循环小数叫无理数,包括正负无理数,如很多数的平方根或立方根是无理数。如。
- 实数:有理数 + 无理数统称为实数。包括正实数 + 负实数。对应平面上的横轴。
- 虚数:将偶指数幂是负数的数定义为纯虚数(形如a+bxi的数,其中a,b是实数,且b≠0,i²=-1。a为实部,b为虚部),虚数无算术根。对应平面上的纵轴。
- 复数:实数 + 虚数称为复数。
02、初中数学 - 整式乘法
1、多项式相乘
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
2、平方差公式
formula for the difference of squares:两个数的和与两个数的差的积,等于这两个数的平方差。
3、平方和公式
formula for the square of the sum:两个数的和(或差)的平方,等于他们的平方和,加上(或减去)它们积的2倍。
4、因式分解
a²−b² = (a+b)(a−b)
a²+2ab+b² = (a+b)²
a²−2ab+b² = (a−b)²
03、初中数学 - 一元二次方程
一元二次方程求解
04、初中数学 - 多项式
Polynomial,由称为未知数的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。
单项式:仅由一项构成的多项式称为单项式
常数项:一项中不含未知数示例
x²+3x−4 为三项一元二次多项式
x³+2y²−4z 为三项三元三次多项式
应用
1、多项式的加减乘除
2、多项式的矩阵乘除
3、因式分解
4、多项式方程、函数
多项式在推导计算算法复杂度用得较多。05、高中数学 - 集合
集合在算法图论中用得较多。
把对象称为元素(element),把元素组成的总体叫集合,简称集(set)。如果两个集合的元素相同则两个集合相等。
a属于集合记作:a∈A
a不属于集合B记为:a∉B
1、集合的表示
列举法:把集合里的所有元素一一列举出来,并用 {} 括起来表示集合的方法。如:{a,b}
描述法:无法用列举法表示的无穷个元素的集合,利用集合中元素的共同特征来表示的方法。如:{x∈R|x<10}
2、集合的关系
1)子集
对于两个集合A和B,如果集合A中任意一个元素都是B中的元素,则称集合A为B的子集。记作:A⊆B 或 B⊇A
韦恩图(Venn):平面上封闭曲线的内部代表集合。
子集韦恩图:
2)真子集
如果集合 A⊆B,但存在元素 x∈B,且 x∉A,则称集合A是集合B的真子集(proper subset)。记作:A⫅B 或 A⫆B
3)空集
不包含任何元素的集合叫空集(empty set)。记作:∅
3、集合的基本运算
1)并集
由所属集合A及所属集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集(union set),记作:A∪B。或:A∪B={x|x∈A,或x∈B}
2)交集
由属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集(intersection set),记作:A∩B。即:且A∩B={x|x∈A,且x∈B}
3)全集
一个集合包含研究问题中涉及的所有元素,则该集合为全集(universe set),记作U。
4)补集
对于一个集合,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),记作:CUA,即:且CUA={x|x∈U,且x∉A}
07、高中数学 - 充要条件
充要条件在算法的推导论证中需要用到。1、真命题
若p,则q,即由p可以推出q,记作:p⇒q。
p是q的充分条件(sufficient condition)
q是p的必要条件(necessary condition)2、假命题
若p,不能得出q,即由p不能得出结论q。记作:p⇏q3、逆命题
"若p,则q" 中的条件p和结论q互换,得到一个新的命题 "若q,则p",则该命题为原命题的逆命题。4、充要条件
"若p,则q" 中的条件p和结论q互换,得到一个新的命题 "若q,则p",均为真命题,即:p⇐q,又 q⇒p,记作:p⇔q。
此时 p即是q的充要条件,也是q的必要条件,则说p是q的充分必要条件,简称充要条件(sufficient adn necessary condition)5、全称量词
短语 "所有的"、"任意一个" 在逻辑中通常叫做全称量词(universal proposition)。用符号:∀ 表示。
含有全称量词的命题称为全称量词命题(universal proposition)。
对于M中任意一个x, p(x)成立,记作:∀x∈M, p(x)6、存在量词
短语 "存在一个","至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier),用符号:∃ 表示。
含有存在量词的命题称为存在量词命题(existential proposition)。
存在M中的元素x,p(x)成立,记作:∃x∈M,p(x)7、全称量词的否定
∀x∈M,p(x)
否定:
∃x∈M,¬p(x)8、存在量词的否定
∃x∈M,p(x)
否定:∀x∈M,¬p(x)08、高中数学 - 函数
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具。
设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系 f, 在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,则称f: a→B为从集合A到B的一个函数(function)。记作:y=f(x),x∈A。其中:
x:自变量
x的取值范围叫做函数的定义域(domain)
与x值对应的y值叫做函数值,也是函数的值域(range)。即{f(x)|x∈A}1、开闭区间
研究函数时常会用到区间的概念,设a,b是两个实数,而且a<b
(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b]
(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b)
(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b].
实数a与b都叫做相应区间的端点这些区间的几何表示如下所示,在数轴表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点。实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),"∞"读作"无穷大","-∞"读作"负无穷大","读作"正无穷大"
2、函数的表示
函数可以用坐标线表示。3、单调性与最大值、最小值
单调性:利用函数图像研究函数值随自变量的增大而增大(或减少)的性质叫函数的单调性。
单调递增:设函数f(x)的定义域为I ,区间D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,当x1 < x2时, 都有 f(x1) < f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增。
增函数:当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数(increase function)
单调递减:设函数f(x)的定义域为I ,区间D是I的真子集。如果Vx1,x2∈D,当x1 > x2时, 都有 f(x1) > f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减。
减函数:当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数(increase function)
单调区间:如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减, 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间
最大值:
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)Vx∈I ,都有f(x)≤M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 则M是函数y=f(x)的最大值( maximum value).
最小值:
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)Vx∈I ,都有f(x)>=M; (2)彐x0∈I,使得f(x0)=M 则M是函数y=f(x)的最小值( minimum value).4、奇偶性
偶函数(even function):设函数f(x)的定义域为I,如果Vx∈I,都有-x∈I, 且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数(even function).
奇函数(odd function):设函数f(x)的定义域为I, 如果x∈I,都有一x∈I, 且f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数( odd function)08、高中数学 - 幂函数
幂函数:形如的函数,都是以幂的底数为自变量,指数为常数,这些函数称为幂函数(power function)。
09、高中数学 - 指数函数1、n次方根
如果,则x叫做a的n次方根,其中n>1且。a的n次方根用符号:
表示根式:叫根式(radical),n为根指数,a叫被开n次方。
n为奇数、偶数时n次方根计算:
- 当n是奇数时, 正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数. 这时, a的n次方根用符号表示.
- 当n是偶数时, 正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数. 正数a的正的n次方根用符号
表示, 负的n次方根用符号-.表示, 正的n次方根与负的n次方根可以合并写成±(a>0).
负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作0=0.
性质
1.
2.
3.
4. 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义
5.
6.
7.2、指数函数
函数且叫指数函数(exponential function),其中x为自变量,定义域为R。
1) 函数y=a(a>0,且a≠1)的图象.由于底数a可取大于0且不等于1的所有实数,所以不妨用一端圆定于y轴的水平线段PA的长度来表示底数a的值, 即点A的横坐标xA显示的就是a的取值
2) 如图1,从左向右拖动点A(0<xA<1),则xA的值逐渐增大,当xA 的值越来越接近于1时,图象就越来越接近于直线y=1;当xA=1时,图象就是直线y=1; 继续向右拖动点A(xA>1),如图2,图象发生了变化.
指数函数乘除
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
10、数列、导数、定积分、微积分、矩阵等
这些内容显示不完,看文章下方的了解更多,进入第2部分内容。
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因为字数限制,很多知识点内容没有列完,如导数、定积分、微积分、矩阵等,可以看文章下方的了解更多链接查看第2部分的内容。
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