中国数学家的小故事（有关数学家的小故事）

　　中国数学家的小故事（有关数学家的小故事）
　　者 | 蔡天新
　　来源| 赛先生（ID: mrscience100）
　　何为真理？不能坐等答案。
　　——弗朗西斯·培根
　　01 道古新桥
　　杭州城内，离开西湖北岸的宝石山不远，有一条小路叫西溪路。在西溪路的东段，与杭大路的交叉口西侧（也在浙江大学西溪校区与玉泉校区之间，靠近西溪校区），有一座石桥，叫道古桥。始建于南宋嘉熙年间（1237-1241），初名西溪桥。南宋咸淳初年《临安志》有载：＂‘西溪桥’，本府试院东，宋代嘉熙年间道古建造＂。这个造桥的道古不是别人，正是南宋大数学家秦九韶，道古是他的字。
　　道古桥在杭州的位置图（梁津铭绘）
　　秦九韶（1202-1261）祖籍河南范县，该县位处鲁豫交界处，县城有数百年设在山东莘县境内，故他自称山东鲁郡人。秦九韶出生在四川普州（今成渝之间）安岳，并在那里长大。其父中过进士（据笔者了解，家乡人传秦家三代进士），曾任巴州（今川东北巴中）地方长官。1219年，巴州发生了一起兵变，促使其离开故乡，调任首都临安（杭州），全家住在西溪河畔。原来，1201年，临安发生了一场著名的大火，烧了三天三夜，烧掉太庙、三省、六部、御史台等，受灾居民达三万五千多家，部分朝廷命官及家眷便迁居当时属于郊外的西溪河畔，秦家来临安后也住那里。
　　九韶自幼聪颖好学，兴趣广泛，他的父亲来临安后一度出任工部郎中，后任秘书少监，掌管图书，其下属机构设有太史局，这使他有机会博览群书，学习天文历法、土木工程和数学、诗词等。1225年，秦父又被任命为潼川（今四川三台）知府，该地靠近吐蕃部落，为边关重地。秦父决定把家眷安置在离开临安不远的湖州，只携带了心仪的小儿子九韶前往赴任。九韶曾出任擢郪县（今三台县郪江乡）县尉，故也有九韶为义兵首的说法，他有领兵打仗的才能。
　　宋理宗赵昀，曾接见秦九韶，宠爱奸臣贾似道的贵妃姐姐。
　　1232年，秦九韶也考中进士，先后在四川、湖北、安徽、江苏、江西、广东等地为官。1236年，元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱频繁，在故乡为官的九韶不得不时常参与军事活动。在《数书九章》序言中，九韶也对这一段生活有所描述。1238年，秦九韶回临安丁父忧（后移居湖州，继续为父奔丧），见河上无桥，两岸人民往来很不便，便亲自设计，再通过朋友从府库得到银两资助，在西溪河上造了一座桥。
　　桥建好后，原本没有名字，因桥建在西溪河上，习惯上被叫作＂西溪桥＂。直到元代初年，另一位大数学家、游历四方的北方人朱世杰（1249-1314）来到杭州，才倡议将＂西溪桥＂ 更名为＂道古桥＂ ，以纪念造桥人、他所敬仰的前辈数学家秦九韶，并亲自将桥名书镌桥头。
　　网友提供的原道古桥（疑似）
　　道古桥一直存在到新千年之交（笔者在附近居住了十九年，历史上有无重建不得而知），因为西溪路扩建改造，原先的桥和溪流被夷（填）为平地（曾经有过的道古桥居委会也随之消失），并建起高楼大厦，诸如国际商务中心、浙江省国土资源厅和黄龙世纪雅苑，只留一个公交车站名道古桥（据说还有地图上未显示的道古桥路）。
　　2005年，道古桥附近天目山路（杭州东西主干道）南侧西溪支流沿山河上修建了一座人行石桥（在杭大路的马登桥和黄龙路的沿山河桥之间，离开道古桥原址约百米左右，比原先的长且宽阔）。我曾数度实地勘察，发现此桥跨河而建，两岸垂柳披挂，风景优美，且闹中取静，关键是尚未命名，故而引导我突发奇想。
　　道古新桥。作者摄于杭州
　　02 数学大略
　　1244年，秦九韶任建康府（南京）通判期间，因母丧离任，回浙江湖州守孝三年。正是在这次守孝期间，秦九韶专心研究数学，完成了二十多万字的巨著《数书九章》（1247年9月），名声大震加上他在天文历法方面的丰富知识和成就，曾受皇帝（宋理宗赵昀）召见。他在皇帝面前阐述自己的见解，并呈奏稿和＂数术大略＂或＂数学大略＂（即《数书九章》）。可以说，秦九韶是第一个受皇帝接见的中国数学家。几年以后，河北的数学家李冶也曾三度被忽必烈召见。
　　《数书九章》线装版封面（吴文俊作序）
　　《数书九章》分九类十八卷，每类九个问题，应该说全面超越了古典名著《九章算术》。其中，最重要的成果无疑要数第一卷大衍类的＂大衍总数术＂和第九卷＂市易类＂的＂正负开方术＂。＂开方正负术＂或＂秦九韶算法＂给出了一般n次代数方程正根的解法，系数可正可负。此类方程求解需要迭代运算，那样需要反复求取该多项式的值，而每次求值原本需经n（n+1）/2次乘法和n次加法。秦九韶将其转化为n个一次式的求解，只需n次乘法和n次加法，他并给出了最高10次21个方程的例子。直到19世纪初，这一算法才被英国数学家霍纳发现，称霍纳算法，即便在计算机时代的今天，秦九韶（霍纳）算法仍有重要的意义。
　　＂大衍总数术＂给出了孙子定理的一般表述。大约在公元四、五世纪成书的《孙子算经》里有所谓的＂物不知数＂问题。即＂今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？＂＂答曰二十三＂。换句话说，孙子只是给出了一个特殊例子。而在江苏淮安的民间传说里，这个故事可溯源到公元前二、三世纪西汉名将韩信点兵的故事。
　　话说秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信率兵与楚军交战。苦战一场，汉军死伤数百，遂整顿兵马返回大本营。当行至一处山坡，忽报楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。此时汉军已十分疲惫，韩信令士兵3人一排，结果多出2名；接着令5人一排，结果多出3名；再令士兵7人一排，又多出2名。韩信当即宣布：我军1073名勇士，敌人不足五百。果然士气大振，一举击败了楚军。
　　用现代数学语言来描述＂大衍总数术＂就是：设有k个两两互素的大于1的正整数
　　，其乘积为M，则对任意k个整数
　　，存在唯一不超过M的正整数x，x被各个相除所得余数依次为。秦九韶并给出了求解的过程，为此他发明了＂辗转相除法＂
　　（欧几里得算法）
　　和＂求一术＂。后者是指，设a和m是互素的正整数，m大于1，可以求得唯一不超过m的正整数x，使得a和x的乘积被m除后余数为1。
　　遗憾的是，由于古代中国没有素数的概念（要到清朝康熙年间才有，叫数根），且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶对他发现的定理没有给出严格的证明。但对求解型的定理来说，这个并不十分重要。实际上，他还允许模不两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。值得一提的是，大衍求一术和欧拉定理是20世纪密码学中赫赫有名的＂RSA公钥体系＂中的两个关键因素。
　　此外，秦九韶还给出了＂三斜求积术＂，此乃著名的海伦公式（已知三角形的三条边长求面积）的等价形式。在第二章天时类，秦九韶给出了历法推算和雨雪量的计算。在南京北极阁气象博物馆里，有古代著名气象学家的雕像，其中也有秦九韶，雕像的石碑上写着：他用＂平地得雨之数＂（即单位面积内得雨）量度雨水，在世界上最早为雨量和雪量测定奠定了科学理论依据。
　　03 享誉欧洲
　　1801年，数学王子高斯的名著《算术研究》（第2篇第7节）里，也给出了上述＂大衍求一术＂，此前瑞士数学家欧拉已作了深入研究，但他们都不知道中国的数学家早已经有这个结果。直到1852年，秦九韶的结果和方法被英国传教士伟烈亚力（与清代数学家李善兰合作译完欧几里得《几何原本》）译介到欧洲，他的论文《中国科学史札记》在欧洲学术界受到广泛关注，并被迅速从英文转译成德文和法文，此文同时也介绍了秦九韶算法。至于何时何人命名了中国剩余定理，仍是个未解之谜，但应不晚于1929年。
　　《数书九章》插图，相传画的是湖州飞英塔。
　　严格来讲，孙子定理应称为秦九韶定理，我在拙作 《数之书》（以及近作《经典数论的现代导引》）中、英文版里也的确这么做了。之所以被命名为孙子定理，应与下文要讲的秦九韶的道德疑难有关。而据笔者的先师潘承洞教授分析，西方人之所以称其为中国剩余定理，是因为古代中国数学家注重计算，缺乏理论建树，因而是一种轻视。无论如何，她都可以说是中国人发现的最具世界性影响的定理，是中外任何一本基础数论教科书不可或缺的，同时也被拓广到另一数学分支——抽象代数里面。此外，还被广泛应用到密码学，数值分析里的多项式插值计算，哥德尔不完全性定理的证明，丢番图方程可解性的判断（希尔伯特第十问题之否定），以及快速傅里叶变换理论等诸多领域。
　　德国著名数学史家莫里茨·康托尔赞扬秦九韶是＂最幸运的天才＂，这是因为当时西方尚未为这个命题命名。此前法国大数学家拉格朗日也是这样称赞牛顿的。拉格朗日认为，发现万有引力定律只有一次机会。有着＂科学史之父＂美誉的美国科学史家乔治·萨顿认为，秦九韶是＂他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一。＂2005年，牛津大学出版社出版了《数学史，从美索不达米亚到现代》，该书重点介绍的12位数学家中，秦九韶是唯一的中国人。
　　剑桥的数学桥，相传为牛顿设计。作者摄
　　秦九韶造桥的故事，堪与英国数学家牛顿造桥的故事媲美。现今剑桥大学的皇后学院内，流经的剑河上有一座桥叫数学桥，只因传说原桥设计师是17世纪的数学家牛顿。据称牛顿造桥时没用到一根钉子，后来有好事者悄悄把桥拆下来，发现真是这样，却再也无法安装回去，只好在原址重新造了一座桥。时至今日，数学桥早已成为一处名胜，可以说是到访剑桥旅客的必游之地。
　　相比之下，道古桥的故事不仅更为古老（比牛顿早四个世纪），且与两位古代大数学家有关（可惜当年宣传甚少，甚至杭州多数数学工作者都不知道，道古即秦九韶）。如果得以（重新）命名，酌情在桥头设立一块石碑，必将为杭州这座历史文化名城增添一处不可多得的科学人文景观（此建议后来被杭州市政府采纳，我并请数学家王元先生题写了桥名）。
　　04 道德疑难
　　必须要指出的是，由于秦九韶的学术成就未被同代人认识，加上一些不好的传闻和描述，称其贪赃枉法、生活无度，甚至犯有人命、非复人类，他在暮年和后世成了一个有争议的人物。所有宋史和地方志都未为秦九韶列传，他的名字和桥名时隐时现，后裔也下落不明。不仅中文数论教科书里不出现他的名字，中国校园里也只张贴或雕塑祖冲之的像，甚至英国BBC新近制作播出的四集纪录片《数学的故事》在夸赞他的学术成就之余（秦是唯一被提及的中国数学家，也是七位东方数学家中镜头最多的一位），也渲染其道德污点。
　　经笔者多方求证和讨教，得知有关秦九韶的传闻主要有两个出处，其内容大有互通。比秦九韶年长十五岁的福建词人刘克庄《后村先生大全集》中的《缴秦九韶知临江军奏状》（1260）在前，比秦九韶小三十岁的湖州文人周密《癸辛杂识·续集》中的《秦九韶》（共两页，癸辛是杭州的街名，宋亡后周密留居此地）在后，后者曾被清代（乾隆年间）的《四库全书》列入＂小说家之类＂流传。可以说，刘周两人都是南宋文学史上有一定影响和地位的人。
　　广东梅州，秦九韶的谢世地。作者摄
　　到了嘉庆年间，文理兼备的扬州学派著名学者焦循，浙江巡抚、经学家、教育家阮元，以及晚清湖州学者、藏书家陆心源等人相继批驳周密，指其造谣诽谤，始有人为秦九韶列传。而刘克庄生前便趋奉贾似道，被认为谀词产语，连章累牍，为人所讥。1842年，《数书九章》由历算名家宋景昌校订后第一次印刷出版，结束了近六百年的传抄史。之前，其抄本先后被收入明代的《永乐大典》和《四库全书》。在传抄过程中，一度被称为《数学九章》，后被明末戏剧家王应遴定名为《数书九章》。从这个意义上，《数书九章》堪与荷马史诗媲美。
　　必须指出的，吴潜和贾似道是宋理宗时一忠一奸的宰相，秦九韶和刘克庄分别与两人过从甚密。吴潜出身状元，以正直无私、忧国忧民、忠义爱国闻名，还是一代词人、水利专家和抗倭英雄；贾似道恶贯满盈，却是皇帝宠爱的贵妃的同父异母弟弟，人称蟋蟀宰相。1261年，秦九韶去世那年，年近七旬的吴潜被贾似道罗织罪名，再度被罢免宰相，流放循州（今广东龙川），与秦九韶的谢世地梅州（今梅县）相去不远，且次年便暴病身亡（疑被投毒）。
　　吴潜是安徽宁国人（一说是湖州德清人），那里与湖州毗邻，秦九韶在巴州任职时便与之相识，后一同在湖州丁忧母。或许，秦九韶从吴潜赠送的地基上建起的房子有些奢华，引得当地文人周密的嫉妒。特别是，周密是湖州本地人而秦九韶是异乡人。除了擅长作词以外，周密还爱好史学、画帖、医学，甚至算学。他的《志雅堂杂钞》也是一本杂书，有趣的是，里头居然有韩信点兵的描述，他称之为＂鬼谷算＂或＂隔墙算＂。
　　秦九韶纪念馆，四川安岳。作者摄
　　另一方面，秦九韶的骈俪诗词也颇有造诣，并曾得著名词人李刘指点，因此也不排除文人相轻的可能性。秦九韶的遭遇无疑是政治斗争的牺牲品，他生命的最后六年是在梅州度过的。事实上，在金人和蒙古大军南下时，吴潜和贾似道分属主战派和主和派。笔者曾专程前往梅州，只见周围群山环抱，城内主要街道栽满了榕树。我想起造纸术的发明人蔡伦，他和秦九韶在科学、技术上的成就在中国古代无人可以匹敌。蔡伦因为发明造纸术被封侯，晚年却在宠爱他的皇太后过世后耻于被政敌侮辱，沐浴后穿戴整齐，喝毒药而死。
　　有意思的是，后来曾有无名氏作《长相思》：＂去年秋，今年秋，湖上人家乐复忧，西湖依旧流。吴循州，贾循州，十五年前一转头，人生放下休。＂也就是说，15年以后，贾似道也被贬到当年吴潜遭贬去世的地方，且途中被富有正义感的监押官杀死。到了清代，吴潜的后裔吴鲁又考中状元、光宗耀祖，吴氏家族多居住在福建，其中泉州涂门街的吴氏大宗祠又名东观西台。至于秦九韶的最后岁月、下葬地及其后裔，笔者虽曾在梅州努力探访，仍无从知晓。假如真的如刘周文章所言，他早应被处斩或入狱，如何只是被贬官且仍＂治政不辍＂？
　　值得一提的是，《数书九章》里有一幅著名的插图，是用来计算图中的宝塔塔尖高度的，通过观察角度的调整和正切函数的运用，便可以求得。这座宝塔与湖州城内的唐代古寺飞英寺里的飞英塔造型相似，此塔内是石塔外是砖木塔，因为塔中有塔而别具一格，属于全国重点文物保护单位。虽然内塔和外塔分别建于唐代和北宋年间，但在12世纪前后遭到拆毁，现在的塔重建于13世纪30年代，刚好在秦九韶寓居湖州之前。
　　05 世界本原
　　最后，我想谈谈秦九韶为《数书九章》这部唯一的著作所作的序诗（每卷一首）和序言。第一卷是大衍类，即最有价值的一次同余式求解理论。他在这卷序诗里写道，＂巍巍昆仑，气势磅礴；世界本原，在于数学。＂第二卷是关于天文历法，序诗曰，＂七大行星，苍穹回旋；世间诸事，变化多端。＂第三卷是关于土地面积测量，序诗的开头是，＂百姓虽小，当放首位；审时度势，以观世界。＂
　　接下来的几卷先后涉及测量计算、运输税收、粮谷容积、建筑施工、军需供应、交易利息等。在赋役一卷中他写道，＂当官的要施仁政，为民着想，设身处地，犹如自己挨饿受灾。如果赋税徭役分配不均，难道能让人心安理得吗?＂因此可以说，这部著作不只谈论数学，还涉及自然现象和社会生活，成为后人了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。
　　秦九韶纪念馆，四川安岳。作者摄
　　在＂钱谷＂一卷，序诗更是针砭时弊，有理有据。＂纳粮上税，要看等级，粮食入库，要看时节。一粒粒粟，一寸寸丝， 都是男女劳动所得。＂＂达官贵人相互攀缘，欺榨百姓，大小贪官，用尽心机。＂＂治理财政，理当犹如智者治水。正本清源，有条不乱，治标治本，消除隐患。＂＂那些昏官视而不见，人民悲惨，用刑不断。离开理智愈来愈远，为官不仁！可叹可叹！＂
　　在序言的开头，秦九韶便提到，周朝数学属于＂六艺＂（礼、乐、射、御、书、数）之一。学者和官员们历来重视、崇尚数学。人们因为要认识世界的规律，产生了数学。从大的方面说，数学可以认识自然，理解人生；从小的方面说，数学可以经营事务，分类万物。秦九韶坚信，世间万物都与数学相关，这与古希腊的毕达哥拉斯学派不谋而合。
　　蔡天新在南京北极阁气象博物馆秦九韶塑像旁
　　这也正是数学吸引秦九韶的地方，他向学者、能人求教，深入探索数学之精微。＂我在青少年时代曾随父亲到过都城临安，有机会访问国家天文台的历算家，向他们学习历算。此外，我还从隐君子那里学习数学。＂这里的隐君子并非指吸毒（烟）成瘾的人，而是指隐居逃避尘世的人。其时，元军入侵四川，九韶有时却不得不在战乱中长途跋涉，可是他仍不忘钻研数学。
　　与此同时，秦九韶也感叹，数学家的地位和作用，而今不被人们所认识，这里他主要指的是纯粹数学和暂时无法用到的方法技巧。他认为，数学这门学问遭到鄙视，算学家只被当作工具使用，这就犹如制造乐器的人，仅仅拨弄出乐器的声音。＂原本我想要把数学提升到哲理（道）的高度，只是实在太难做到了。＂由此我们可以推断，这是一位有思想有品味的人，与传言中的秦九韶实难相符。时光流逝了七个多世纪，秦九韶的道德污点也成为古代中国科学史上最大的疑案。
　　2012年5月，杭州
　　＂
　　作者简介
　　蔡天新
　　浙江大学数学学院教授、博士生导师、求是特聘学者，近作有《小回忆》增订版、《26城记》、《数学与艺术》、《经典数论的现代导引》（中、英文版）、《完美数与契波那契序列》（即出），主编《地铁之诗》、《高铁之诗》。
　　蔡天新教授近作
　　《经典数论的现代导引》
　　作者：蔡天新
　　出版社：科学出版社
　　出版时间：2021.5
　　点击封面图立即购买
　　内容简介本书既适合用作高等院校本科生、研究生的基础数论课程教材或参考书，也适合专业的数论工作者和业余的数学爱好者阅读。
　　目 录
　　向上滑动阅览
　　序: 数是我们心灵的产物
　　第章整除的算法
　　1.1 自然数的来历
　　完美数与亲和数
　　1.2 自然数的奥妙
　　镶嵌几何与欧拉示性数
　　1.3 整除的算法
　　梅森素数与费尔马素数
　　1.4 最大公因数
　　格雷厄姆猜想
　　1.5 算术基本定理
　　希尔伯特第 8问题
　　第章同余的概念
　　2.1 同余的概念
　　高斯的《算术研究》
　　2.2 剩余类和剩余系
　　函数[x]与 3x+1问题
　　2.3 费尔马-欧拉定理
　　欧拉数和欧拉素数
　　2.4 表分数为循环小数
　　默比乌斯函数
　　2.5 密码学中的应用
　　广义欧拉函数
　　第章同余式理论
　　3.1 秦九韶定理
　　斐波那契的兔子
　　3.2 威尔逊定理
　　高斯的《算术研究》
　　3.1 丢番图方程
　　毕达哥拉斯数组
　　3.2 卢卡斯同余式
　　覆盖同余系
　　3.3 素数的真伪
　　素数或合数之链
　　第章平方剩余