数学知识小学数学总复习大全

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　　小学数学总复习大全_数学_小学教育_教育专区… 小学数学总复习大全 一、单位换算 1、长度单位 1 公里=1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 1 米=3 尺 1 尺=10 寸 1 寸=10 分
　　。 小学数学总复习大全 一、单位换算 1、长度单位 1 公里=1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 1 米=3 尺 1 尺=10 寸 1 寸=10 分 2、面积单位 1 平方公里=1 平方千米=100 公顷=1000000 平方米 1 公顷=10000 平方米 1 公顷=15 亩 1 亩=10000/15 平方米=666。67 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米 3、体积单位 1 立方千米=1000000000 立方米 （9 个 0） 1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 立方厘米=1000 立方毫米 4、容积单位 1 升=1 立方分米=1000 毫升 1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升 5、质量单位 1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克=1 公斤=2 市斤 1 市斤=0。5 公斤=0。5 千克=500 克 1 市斤=10 两 1 两=50 克 6、人民币单位换算 1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分 7、时间换算 1 世纪=100 年 1 年=12 月=365 天（平年）\366 天（闰年） 大月（31 天），有：1\3\5\7\8\10\12 月，共 7 个月 小月（30 天），有：4\6\9\11 月，共 4 个月 2 月：平年 28 天 闰年 29 天 闰年： a、能被 4 整除但不能被 100 整除的年份，例 2016 年是闰年但 1900 年不是闰年； b、能被 400 整除的年份，例如 2000 年是闰年。 1 日=24 小时 1 时=60 分=3600 秒 1 分=60 秒 1 日=24 小时=1440 分=86400 秒 注意：在不同单位的数学计算中，必须先换成相同单位然后才能计算。 例如： （1）7 千克 56 克=（）千克 解：56 克=56÷1000=0。056（千克） 7 千克 56 克=7。056 千克 （2）12 千克 45 克 =（）克 解：12×1000=12000（克） 12000+45=12045（克） 整理范本 。 注：因克到千克是千进位，小单位（克）数换大单位（千克）数小数点向左移 3 位，例如 56 克=0。056 千 克；大单位（千克）数换小单位（克）数小数点向右移 3 位，例如 12 千克=12000 克。 （3）8 元 7 角 5 分=（）元 解：7 角=0。7 元 5 分=0。05 元 8 元 7 角 5 分=8+0。7+0。05=8。75（元） （4）8 米 9 分米 6 厘米=（）米 解：9 分米=0。9 米 6 厘米=0。06 米 8 米 9 分米 6 厘米=8+0。9+0。06=8。96（米） 二、概念 1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。1+2=2+1=3 加数+加数=和 和-加数=另一个加数 2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，再与第三个数相加，和不变。 (1+2)+3=1+(2+3)=6 3、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。 2×5=5×2=10 因数×因数=积 积÷一个因数=另一个因数 2×3=6 6÷2=3 4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第三个数相乘，积不变。 (2×3)×4=6×4=24 2×(3×4)=2×12=24 5、乘法分配律：两数的和与另一个数相乘（或者一个数与另外两个数的和相乘），可以把两个数分别与另一个 数相乘，再把两个积相加，结果不变。 (2+3)×5=5×5=25=2×5+3×5=10+15=25 5×(2+3)=5×2+5×3=10+15=25 6、除法的性质： (1)在 除 法 里 ， 被 除 数 和 除 数 同 时 扩 大 （ 或 缩 小 ） 相 同 的 倍 数 ， 商 不 变 。 24÷6=4=(24×2)÷(6×2)=48÷12=4=(24÷3)÷(6÷3)=8÷2=4 注：除法的这个性质是分数通分或分数约分的基础。 (2)0 不能做除数 (3)0 除以任何不为 0 的数都得 0 (4)被除数、除数、商之间的关系： 被除数÷除数=商 被除数÷商=除数 除数×商=被除数 7、自然数：用来表示物体个数的整数叫自然数。自然数包括 0 和正整数：0、1、2、3、4、5、6、7、8…… 8、偶数和奇数：能被 2 整除的数叫偶数。不能被 2 整除的数叫奇数。 偶数序列：0、2、4、6、8、10…… 奇数序列：1、3、5、7、9、11…… 9、质数（素数）：一个数如果只能被 1 和它本身整除，这样的数叫质数（或素数）。最小的质数是 2，也是质数 中唯一的偶数。 质数序列：2、3、5、7、11、13、17、19、23…… 整理范本 。 除了 2 以外的质数都是奇数。 10、合数：一个数如果除了 1 和它本身外还能被其它数整除（还有其它的因数），这个数就叫合数。合数与质 数是两个相对立的概念（即：是合数就不是质数，反之是质数就不是合数）。4 是最小的合数。 合数序列：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18…… 1 既不是质数也不是合数。 质数序列加上合数序列加上 1 是正整数序列，再加上 0 就是整数序列。 11、公倍数与最小公倍数： 公倍数：一个数是另外几个数的倍数，这个数就是它们的公倍数。例如 60 是 2、3、5 的倍数，那么 60 就是 2、3、5 的公倍数。2、3、5 的公倍数有 30、60、90、120、150…… 最小公倍数：在几个数的公倍数中最小的一个就是它们的最小公倍数。例如 30 是 2、3、5 的最小公倍数。 注：在几个分数通分时，我们应该找分母的最小公倍数。 12、公约数与最大公约数： 公约数：几个数都能被同一个数整除（也就是说这几个数都有同一个因子），这个共同的因子就叫这几个 数的公约数。例如 24、48、96 都能被 2 整除，2 就是 24、48、96 的公约数。24、48、96 的公约数还有 3、4、6、 8、12、24。 最大公约数：在几个数的公约数中最大的一个叫最大公约数。例如 24、48、96 的最大公约数是 24。 注：在分数约分时我们应该找最大公约数进行约分。 13、需要记住能整除的几个情况： ①偶数都能被 2 整除； ②各位数字之和能被 3 整除，该数就能被 3 整除； ③最后两位数能被 4 整除，该数就能被 4 整除；最后三位数能被 8 整除，该数就能被 8 整除； ④尾数是 0 或 5 的数能被 5 整除；尾数是 00 或 25 或 50 或 75 的数能被 25 整除； ⑤各位数字之和能被 6 整除，该数就能被 6 整除。或者能被 3 整除的偶数就能被 6 整除； ⑥各位数字之和能被 9 整除，该数就能被 9 整除； ⑦奇数位数字之和与偶数位数字之和相等，或者它们的差是 11 的倍数，该数就能被 11 整除，例如 3003、803、 4070506 等。 ⑧一个数分别能被两个或多个互质的数整除，那么一定能被这些互质数的积整除，例如 60 能被 2、3、5 整 除，一定能被它们的积 30 整除。 14、互质数：公约数只有 1 的两个或两个以上的数叫互质数。例如 3 和 5 是互质数，5、6、7 是互质数，11、 12、17 是互质数等等。 注：互质数在我们找最大公约数和最小公倍数时都有作用。如果两个数互质，它们的最小公倍数就是它们 的乘积。如果分数的分子与分母互质，那么它们的最大公约数就是 1，或者说我们约分要约到分子分母互质为 止。 15、小数：含有小数点的数，例如 1。2、3。14、0。618 等等。小数各位的名称有：……百位 十位 个位。十分位 百 分位 千分位…… 16、循环小数：一个小数，从小数的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断重复出现，这样的小数叫做循 整理范本 。 环小数。例如 2。141414……，可以用循环节表示为 2。14。 注：7 做除数时的特殊循环节：循环取 142857， 1÷7= 0。142857，2÷7= 0。285714，3÷7= 0。428571 4÷7= 0。571428，5÷7= 0。714285，6÷7= 0。857142 17、不循环小数：一个小数，从小数起，没有一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做不循环 小数。例如含 9 位小数的圆周率的近似值 3。141592654 是不循环小数。 18、无限不循环小数：一个小数，从小数起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的 小数叫做无限不循环小数。例如圆周率 3。979…… 19、分数：把单位 1 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。 20、真分数：分子比分母小的分数叫线、假分数：分子比分母大或者分子与分母相等的分数叫假分数。假分数都是大于或等于 1 的数。如 3 ，5 ，7 等。 237 22、带分数：把假分数写成整数跟真分数的形式叫带分数。 23 3 2 77 23、分数的基本性质：分数的分子和分母同乘以或同除以一个不为 0 的数，分数值不变。因为分数其实就是分 子除以分母，分数的基本性质其实就是除法的基本性质（被除数和除数同乘以或同除以一个不为 0 的数，值不 变）。这个基本性质是分数通分或约分的基础。 24、通分：把不同分母的分数化成同分母的分数叫通分，方法就是找分母的最小公倍数作为共同分母，每个分 数分子分母同乘以一个数，将分母化成该共同分母。 25、约分：把一个分数化成同它相等，但分子分母都比较小的分数叫约分。方法是，分子分母同除以它们的最 大公约数。 26、最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫最简分数。分数计算结果必须化成最简分数。 27、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只需把分子相加减，分母不变。不同分母的分数相加减，先通分， 然后再加减。 2 5 1 5 21 5 3 5 4 7 - 3 7 4-3 7 1 7 1 2 15 23 56 11 3 5 35 53 15 15 - - 3 1 35 14 15-4 11 4 5 45 54 20 20 28、分数比较大小 分数比较大小的原理： ①分母相同，分子大的分数值大 (每份大小相同，份数多的大) ②分子相同，分母大的分数值小 (份数相同，分母大每份小，分数值小) 整理范本 。 分数比较大小的方法： (1)同分母的分数比较大小：分子大分数值大，分子小分数值小。 (2)不同分母的分数比较大小：先通分，然后比较大小。 (3)分子相同，分母大分数值小，分母小分数值大。 (4)特殊情况 1：当分子都比较小时，可以将分子变成相同(两分数分别将分子分母同乘一个数)再进行比较。 (5)特殊情况 2：当分子分母接近(即线 的差的大小间接比较它们的大 小(这时差的分子都比较小好比较。差小的原分数更接近 1，其分数值大)。 推广的情况：当分数值接近 1/2 时，也可以比较它们与 1/2 的差。 29、分数乘整数：分数的分子乘以整数做分子，分母不变。 注意：①如果整数可以与分母约分，应先约分，然后再将分子与约分后的整数相乘做分子。②分数乘整数的结 果往往分子大于分母，一般应化为带分数，如果接着做乘除法就不用化成带分数。 3 2 3 2 6 14 5 7 5 35 5 5 777 12 6 6 6 30、分数乘分数：分子乘分子（做分子），分母乘分母（做分母），可以约分的应先约分然后再作分数乘法。 3 4 3 4 12 3 5 1 1 1 5 7 5 7 35 10 6 2 2 4 31、分数除以整数（0 除外）：等于分数乘以整数的倒数。 3231 3 7 7 2 14 32、分数除以分数：等于作为被除数的分数乘以作为除数的分数的倒数。 3 2 3 5 15 1 1 7 5 7 2 14 14 总结 31 和 32，可以说：任何一个数除以另一个不为 0 的数都等于一个数乘以另一个数的倒数。 例如： 3 2 3 1 2 3 2 1。5 3231 3 7 7 2 14 3 7 3 2 6 3 2 3 5 15 1 1 2 7 7 7 5 7 2 14 14 33、百分数：分母为 100 的分数，其作用是：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数又叫百分率或百分比， 是非常常用的一种数。 34、百分数与小数互换 (1)小数化成百分数：只需将小数点向右移动两位，同时在小数后面加上百分号即可。例如 0。345=34。5% (2)百分数化成小数：只需将小数点向左移动两位，同时去掉百分号即可。例如 123。456%=1。23456 35、百分数与分数互换 (1)分数化成百分数：因为小数很容易化成百分数，可以先将分数化成小数（做除法即可，除不尽的要确定保 整理范本 。 留几位小数），然后直接写成百分数。例如 3 5 0。6 60% ， 2 9 0。2222 22。22% （保留四位小数） (2)百分数化成分数 20 1 100 5 a、无小数的百分数：直接写成分数，然后约分成最简分数，例如 20%= b、有小数的百分数：扩大分子分母使分子无小数，然后约分成最简分数，例如 20。25%= 10 36、等式：表示两个数值相等的式子叫等式。例如 2= 5 2025 81 10000 400 37、代数式：含有用字母表示数的式子，例如 a+b，3a-2b（3a 表示 3×a），字母表示数叫“代数”。 38、方程式：含有未知数的等式叫方程式，例如 x+3=7，x+y=8 等。 39、一元一次方程（式）：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1（即不含 x2、x3……，x2=x×x，x3=x×x×x） x 的方程式。 例如 3x+5=9，2x- 5+3=7 等等。 小学数学总复习40、解一元一次方程的方法：利用等式两边同加、同减任何数，同乘、同除一个不为零的数方程不变的原理， 化简方程，最后得到未知数的值。 2 41、比：两个数相除就叫做两个数的比，如 2÷5=2！5= 5 所以，两个数相除有三种表达形式：除、比、分数。 比的表达形式为 前项：后项 由于是除法的表达形式，因此有性质：比的前项和后项同时乘以或除以一个不为 0 的数，比值不变。 42、比例：表示两个比相等的式子叫做比例。例如 3！5=6！10 由于有两个前项和两个后项，把与等号相邻的两项叫做内项，另外两项叫做外项。 比例的基本性质：两内项之积与两外项之积相等。例如 3！5=6！10 中，5×6=3×10=30 43、解比例。如果比例的四个项中有一项是未知数（或有一项中包含未知数），求出这个未知数就叫解比例（实 际是解特殊的一元一次方程）。方法是：利用比例的基本性质化简方程，然后求出未知数。例如： 3！x=5！7 5x=21 x=21÷5 x=4。2 44、正比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量相对应的比值（也就是商） 一定，这两个量就叫做成正比例的量。他们的关系就叫做正比例关系。 例如： y：x=k 或 y x k 或 y=kx（k 一定），y 与 x 成正比例；10÷2=5， 5 一定，(10×5)÷(2×5)=50÷10=5， 因此，在比值为 5 一定的情况下，10 与 2 成正比。 45、反比例：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量相对应的积一定，这两个量 就叫做成反比例的量。他们的关系就叫做反比例关系。 如：x×y =k （k 一定） ， x、y 成反比例关系。 在 6×8=48 积 48 一定的情况下，(6×2)×(8÷2)=12×4=48，6 与 8 成反比例关系 46、利息=本金×利率×时间 （时间是指计算利息的日数、月数等） 整理范本 。 47、利率：利息与本金的比值，一般与时间有关，例如半年、一年、三年…利率都不相同，时间越长利率越高， 到期计算利息为：利息=本金×利率 如果利率按日计算还要乘以日数，如果利率按月计算还要乘以月数，如果利率按年计算还要乘以年数，等等。 48、年化利率（银行常用的利率）：不是一年但折合成一年的利率。例如，假定 100 天存款的年化利率为 3%， 利息计算公式为：利息=本金×3%×100÷365 税后利息=本金×利率×时间×(1-5%) （假定税金是利息的 5%，也称税率） (一)、植树问题 1 非封闭路线)两端都要植树 株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=段数×株距=(株数-1)×株距 株距=全长÷段数=全长÷(株数-1) (2)一端植树另一端不植树 株数=段数=全长÷株距 全长=段数×株距=株数×株距 株距=全长÷段数=全长÷株数 (3) 两端都不植树 株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=段数×株距=(株数+1)×株距 株距=全长÷段数=全长÷(株数+1) 2、封闭路线：同一端植树另一端不植树 株数=段数=全长÷株距 全长=段数×株距=株数×株距 株距=全长÷段数=全长÷株数 以下(二)到(五)参考奥数“行程问题” (二)相遇问题 相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间 (三)追击问题 追击距离=速度差×追击时间 追击时间=追击距离÷速度差 速度差=追击距离÷追击时间 (四)流水问题 1、一般公式 顺流速度=静水速度+水流速度 逆流速度=静水速度-水流速度 三、应用题 整理范本 。 静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)÷2 2、两船相向航行（相遇问题） 两船航行总路程=(甲船顺流速度+乙船逆流速度)×航行时间=(甲船静水速度+乙船静水速度)×航行时间 航行时间=两船航行总路程÷(甲船顺流速度+乙船逆流速度) =两船航行总路程÷(甲船静水速度+乙船静水速度) 3、两船同向航行（追击问题） 追击速度=后船速度-前船速度=后船静水速度-前船静水速度 远离速度=前船速度-后船速度=前船静水速度-后船静水速度 (五)火车(队伍)过桥(或过隧道)问题 过桥路程=桥长+车长=车速×过桥时间 过桥时间=过桥路程÷车速 车速=过桥路程÷过桥时间 (六)数量问题（参考奥数“数量问题”） 1、平均数问题 平均数=总数量÷总份数 总数量=总份数×平均数 总份数=总数量÷平均数 2、归一与归总问题：即求单一量与求总量的问题，有时又叫工程问题。为求总量往往先要求单一量。例如要 求工厂某车间 50 人月生产机器零件的总数（总量），要先求出每人每天生产的零件数（单一量，或叫工作效率）。 (1)一般公式： 总量=单一量×份数 单一量=总量÷份数 份数=总量÷单一量 若是工程问题一般公式为： 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 (2)用假设工作总量为“1”的方法解工程问题 单位时间内完成工作总量的几分之几=1÷工作时间 工作时间=1÷单位时间内完成工作总量的几分之几 (七)浓度问题 溶液的重量=溶质的重量+溶液的重量 浓度=溶质的重量÷溶液的重量×100% 溶质的重量=溶液的重量×浓度 溶液的重量=溶质的重量÷浓度 (八)利润与折扣问题 利润=售出价-成本 整理范本 。 利润率=利润÷成本×100%=(售出价-成本)÷成本×100% =(售出价÷成本-1)×100% 涨跌金额=本金×涨跌百分比 折扣=实际售价÷原售价×100% (因实际售价原售价，故折扣100%，折扣数越小越便宜) (九)和差问题 已知条件：①已知两数和 ②已知两数差 公式： (和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数 注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。 (十)和倍问题 已知条件：①已知两数和 ②已知两数的倍数关系 公式：两数和÷(倍数+1)=1 倍数 1 倍数×倍数=几倍数 或 和-1 倍数=几倍数 注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。 (十一)差倍问题 已知条件：①已知两数差 ②已知两数的倍数关系 公式：两数差÷(倍数-1)=1 倍数 1 倍数×倍数=几倍数 或 差+1 倍数=几倍数 注：比较复杂（引申）的问题要画线段图帮助解题。 (十二) 时间、日期与周期 1、时间与日期问题 (1)日期与时间的换算 (2)日期问题：从某天到某天共计天数=末日期-首日期+1 (因为包含两头日期故要加 1，两头日期不在同月分开算) (3)时间问题 时间计算问题有： 经过的时间=结束的时刻-开始的时刻 结束的时刻=开始的时刻+经过的时间 开始的时刻=结束的时刻-经过的时间 2、周期问题 周期问题要了解的是①周期是多少？②出现了多少个周期？③有没有余数？等。 (十三)年龄问题 年龄问题的特点： 1、随着时间的向前或向后，两个人的年龄同时增加或减少相同的数量，因此两个人的年龄差总是不变的。 2、随着时间的向前或向后，两个人的年龄的倍数关系是会改变的。 年龄问题的求解一般都是化成： 整理范本 。 ①和差问题②和倍问题③差倍问题等来求解。 (十四)鸡兔同笼问题 可引申到租车租船问题、解题得分（答对答错没答分别多少分）问题、飞虫的翅膀和脚问题等等。 鸡兔同笼问题的求解： 方法一：假设法 ①先假定全是鸡（或全是兔）②根据脚数算出误差 ③算出兔数（或鸡数）。 方法二：列方程求解（相对比较简单些） (十五)推理问题（参考奥数） 1、简单推理 简单推理常用方法： (1)排除法：在推理的过程中不断排除不可能的情况，从而得出要求的结论。 (2)假设法：对可能出现的问题作出假设，然后再根据条件推理①如果结论与条件不矛盾，假设正确②如果 结论与条件矛盾，假设错误。 (3)反证法：假设命题不成立，然后通过推理出明显矛盾或不可信的结果从而结论为假设不成立，原命题得 证。 (4)借助线段图、图表等进行分析、推理。 2、逻辑推理：根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断、推理，最终找到问题的答案。 逻辑推理的方法： (1)直接推理：从已知条件出发，运用简单的逻辑推理，逐步推出正确答案。 (2)间接推理 ：先假设一个结果，然后根据已知条件和客观规律推出矛盾的结论从而否定假设（反证法）。 (十六)按比例分配问题 1、 基 础 问 题 把 20 分成 4 等分，每份是多少？20÷4=5（除法，分成 4 等分） 20 的 四 分 之 一 是 多 少 ？ 20×1 =5（ 分 数 ， 按 比 例 分 配 ， 是 多 少 ） 1 41 数的 是 5，这个数是多少？5÷ =20（已知部分数求总数） 4 4 2、 按 比 例 分 配 ， 就 是 把 一 个 数 按 照 一 定 的 比 分 成 若 干 份 。 已 知 条 件 ： ① 已 知 总 量 /部 分 量 ② 用 比 或 连 比 的 形 式 反 映 各 部 分 占 总 数 量 的 份 数 或 直 接 给 出 份 数。 求 ： 几 个 部 分 量 各 是 多 少 /总 量 及 其 他 部 分 量 。 方法：由总份数＝比的各项之和，先把比的各项相加求出总份数，再把各部分量的比转化为各 占总量的几分之几（以总份数作分母，比的各项分别作分子）最后按照求一个数的几分之 几是多少的方法，分别求出各部分量的值。有时也可以先求出 1 份是多少然后求出各部分 量的值。 如 果 是 已 知 部 分 量 求 总 量 及 其 他 部 分 量 ，也 要 先 求 出 总 份 数 以 及 各 部 分 量 占 总 量 的 几 分 之 几，从部分量及其占比求出总量，最后按其他部分量占几分之几分别求出各部分量的值。 例 1、学校把植树 560 棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有 47 人，二班有 48 人， 三班有 45 人，三个班各植树多少棵？ 解法一： 整理范本 。 三 个 班 的 人 数 比 ： 47！48！45。 分 成 的 份 数 ： 47＋ 48＋ 45＝ 140。 一 班 栽 树 棵 树 ： 560×(47/140)＝ 188(棵 ) 二 班 栽 树 棵 树 ： 560×(48/140)＝ 192(棵 ) 三 班 栽 树 棵 树 ： 560×(45/140)＝ 180(棵 ) 答：一班栽树 188 棵；二班栽树 180 棵；三班栽树 192 棵。 解法二： 总 人 数 ： 47＋ 48＋ 45＝ 140（ 人 ） 平 均 每 人 栽 树 ： 560÷140=4（ 棵 ） 一 班 栽 树 ： 47×4=188（ 棵 ） 二 班 栽 树 ： 48×4=192（ 棵 ） 三 班 栽 树 ： 45×4=180（ 棵 ） 答：一班栽树 188 棵；二班栽树 180 棵；三班栽树 192 棵。 例 2： 用 60 厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是 3∶4∶5。三条边的长各 是多 少厘米？ 解法一： 总 份 数 ： 3+4+5=12 60×(3/12)=15（ 厘 米 ） 60×(4/12)=20（ 厘 米 ） 60×(5/12)=25（ 厘 米 ） 答：三条边的长各是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。 解法二： 总 份 数 ： 3+4+5=12 每 份 的 长 度 ： 60÷12=5（ 厘 米 ） 第 一 条 ： 3×5=15（ 厘 米 ） 第 二 条 ： 4×5=20（ 厘 米 ） 第 三 条 ： 5×5=25（ 厘 米 ） 答：三条边的长各是 15 厘米、20 厘米、25 厘米。 例 3： 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17 只羊分给三个儿子，大儿子分总数的 1/2，二儿 子分总数的 1/3，三儿子分总数的 1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。 解：三个儿子分羊数比为： 1/2：1/3：1/9=9！6！2 总 份 数 ： 9+6+2=17 大 儿 子 ： 17×(9/17)=9（ 只 ） 二 儿 子 ： 17×(6/17)=6（ 只 ） 三 儿 子 ： 17×(2/17)=2（ 只 ） 答：大儿子分得 9 只羊、二儿子分得 6 只羊、三儿子分得 2 只羊。 整理范本 。 注意：由于三个儿子分总数的比例之和(1/2+1/3+1/9=17/18)不为 1，故不能用这些比例求 三个儿子各分多少只羊(结果都不是整数)。 例 4 ：某 工 厂 第 一 、二、三 车 间 人 数 之 比 为 8∶ 12∶ 21，第 一 车 间 比 第 二 车 间 少 80 人 ，三 个 车 间共多少人？ 解法一：分析：由题意，第一、二、三车间的人数比为 8：12：21，第一车间的人数比第二车 间少 80 人，这 80 人就相当于（12-8）份，由此用 80÷（12-8）可求得 1 份是多少人，进 而求得三个车间各有多少人． 解：1 份的人数：80÷(12-8)=20(人)， 一 车 间 ： 20×8=160(人 )； 二 车 间 ： 20×12=240(人 )； 三 车 间 ： 20×21=440(人 )； 答：第一车间有 160 人，第二车间有 240 人，第三车间有 440 人。 解法二： 分 析 ：根 据 “ 第 一 、二 、三 车 间 人 数 的 比 为 8：12：21” 得 出 一 二 三 车 间 的 总 份 数 8+12+21=41 份 ，第 一 车 间 人 数 占 总 数 的 8/41，第 二 车 间 人 数 占 总 数 的 12/41，把 车 间 总 人 数 看 作 单 位 “ 1” 是 未知的，数量 80 除以对应分率（12/41-8/41）求出车间总人数，再分别按照总数乘以占比求出各 部分量的值。 解：总份数 8+12+21=41（份）， 总 人 数 ： 80÷(12/41-8/41)=820（ 人 ） ； 第 一 车 间 人 数 ： 820×(8/41)=160（ 人 ） ， 第 二 车 间 的 人 数 ： 820×(12/41)=240（ 人 ） ， 第 三 车 间 的 人 数 ： 820×(21/41)=420（ 人 ） ； 答：三个车间各有 160 人、240 人、420 人。 (一)平面图形的周长与面积 四、平面图形问题 设平面图形的边长为 a、b、c，高为 h，半径为 r，直径为 d，周长为 C，面积为 S 序 图形名称 对称轴数（条） 号 周长 面积 正方形 1 a C=4a 1 4 a=C÷4= C 4 S=aa=a2 长方形 2 b a 3 三角形 C=2(a+b) 2 a=C÷2-b b=C÷2-a 无 C=a+b+c 整理范本 S=a×b=ab a=S÷b b=S÷a S=a×h÷2 1 ah 2 chb a 等腰三角形 b hb a 等边三角形 a ha a 直角三角形 c b a 平行四边形 4 h b a 梯形 a dh c b 等腰梯形 a 5 c hc b 直角梯形 a d c b 圆 6 r 。 1 C=a+2b 3 C=3a C=a+b+c 无 C=2(a+b) 无 C=a+b+c+d 无 C=a+b+2c 1 C=a+b+c+d 无 无数条 C=πd=2πr d=2r r=d÷2 C C 整理范本 2 = S= 1 2 ac S=ah a=S÷h h=S÷a S= 1 (a b)h 2 a=2S÷h-b b=2S÷h-a S= 1 (a b)d 2 S=πr2 = 1 d2 4 。 d d= r= 圆环 r R 无数条 半圆周长 C=πr+d 圆环周长=C 大+C 小 =πD+πd=π(D+d) =2πR+2πr=2π(R+r) 圆环面积= S 大-S 小 =πR2-πr2 =π(R2- r2) =1 4 πD2- 1 4 πd2= 4(D2- d2) (二)平面图形总结 1、平面图形：用若干条直线段或曲线段组成的外突的图形叫平面图形（不能内折） 2、平面图形的分类（按由直线段或曲线段组成分） a、由曲线段组成：圆、椭圆、扇形等 b、由直线段组成：三角形、四边形、五边形……。 (三)各种平面图形知识 1、三角形 (1)三角形的特性：三角形具有稳定性（四边形、五边形……都没有此特性） (2)三角形的组成：有三个顶点、三条边和三个内角 三角形的内角和：无论什么三角形，其内角和都是 180° (3)三角形分类： a 按角分： 锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形 直角三角形：有一个内角是直角的三角形 钝角三角形：有一个内角是钝角的三角形 b 按边长分： 普通三角形 等腰三角形：有两条边相等的三角形，相等的边叫腰，另外一条边叫底边，腰和底边的夹角叫底角， 底边所对的角叫顶角。 等边三角形：三条边都相等的三角形，它的每一个内角都是 60°。 (4)三条边能组成三角形的条件：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 因此，当周长确定时，最长边的长度小于周长的一半（因为另一半多是另外两条边的长度之和），最短边 的长度大于 0（或大于另外两条边之差）。 (5)三角形的边角关系：大角对大边（钝角三角形钝角所对的边最长），小角对小边，等角对等边（等腰三 角形两底角相等，等边三角形三底角相等都是 60°）。 (6)三角形的高：由一个顶点向对边所作的垂线段。因此三角形有三条高，在图形内的叫内高，在图形外的 叫外高。锐角三角形的三条高都是内高；直角三角形有一条内高，另外两条高与直角边重合；钝角三角形有一 整理范本 。 条内高（由钝角顶点所作的高）和两条外高。 2、四边形 (1)四边形的内角和为 360°（可以用一条对角线将四边形分成两个三角形每个三角形内角和 180°，总的 内角和即为 360°） (2)四边形的演变 一般四边形 梯形(有且只有一组对边平行) 长方形(有一个内角是直角) 正方形(邻边相等) 平行四边形(两组对边都平行) 菱形(四条边都相等) (有一个内角是直角) (3)梯形分类 一般梯形(四条边分别叫上底、下底和两条腰) 直角梯形：有两个内角是直角的梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形（是对称图形，四个内角两两相等） (4)平行四边形的性质：两组对边相互平行且长度相等，对角相等，邻角的和是 180°。 (5)菱形的的性质：除了平行四边形的性质外，还有四条边都相等，两对角线相互垂直平分都是图形的对称 轴。 3、多边形 (1)多边形内角和，设为 n 边形，内角和为(n-2)×180°(可以从一个顶点画所有对角线将 n 边形分成 n-2 个 三角形看出，例如五边形可分成 3 个三角形，六边形可分成 4 个三角形等等) 因此，三角形、四边形、五边形、六边形……的内角和分别为 180°、360°、540°、720°……。 (2)正多边形的内角：正 n 边形有 n 个内角，它们都相等，每个内角都为内角和的 1/n。 因此，正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形……的一个内角分别为 60°、90°、 108°、120°……。规律：边数越多内角越大，但一定小于 180°。 (四)密铺问题 1、什么是密铺：用小的直线或曲线平面图形铺成大的无缝隙不重叠的平面叫密铺。 2、用直线图形密铺的原则：每一结合点的小图形张开的角度之和为 360° 3、能够密铺的直线平面小图形，根据上面的原则，以下图形可以密铺： 三角形(各种)：因其内角和为 180°，结合点用同样的 6 个三角形(角编号 1、2、3 各 2 个)即可。 四边形(各种)：因其内角和为 360°，结合点用同样的 4 个四边形(角编号 1、2、3、4 各 1 个)即可。 正六边形：因其每个内角为 120°，结合点用 3 个正六边形即可。 根据原则其余直线平面小图形均不能密铺。 整理范本 。 五、立体图形问题 (一)长方体（设长宽高分别为 a、b、c，棱长之和为 L，表面积为 S，体积为 V） 长方体有 12 条棱：分别有四条长、四条宽和四条高；有六个面；有八个顶点 长方体的棱长之和 L=4a+4b+4c=4(a+b+c) 长方体的表面积 S=2(ab+ac+bc) 长方体的体积 V=abc=底面积×高 （以任何面为底，不包含的棱即为高） (二)正方体（设棱长为 a，棱长之和为 L，表面积为 S，体积为 V） 正方体是特殊的长方体（每条棱都相等），因此： 正方体的棱长之和 L=12a 正方体的表面积 S=6×a×a=6a2 正方体的体积 V=a×a×a=a3 (三)圆柱体（设底面半径为 r、直径 d，高为 h，底面周长为 C，侧面积为 S 侧，底面积为 S 底，体积为 V） 侧面积 S 侧=Ch=2πrh=πdh 表面积 S=S 侧+2S 底=2πrh+2×πr2 =2πr(h+r)=C(h+r) 只有一个底面的表面积 S= S 侧+S 底=2πrh+πr2=πr(2h+r) 体积 V=S 底×h=πr2 h (四)圆筒（设大圆柱底面半径 R、直径 D、周长 C，小圆柱底面半径 r、直径 d、周长 c，高均为 h） 表面积 S=S 大圆柱侧+ S 小圆柱侧+2(S 大圆柱底- S 小圆柱底) =2πRh+2πrh+2(πR2-πr2)= 2πh(R+r)+ 2π(R2- r2) 体积 V=V 大圆柱-V 小圆柱=S 大圆柱底×h- S 小圆柱底×h=πR2 h-πr2 h=πh(R2- r2) (五)圆锥体（设底面半径为 r、直径 d，高为 h，底面周长为 C，底面积为 S 底，体积为 V） 体积 V S 底×h= πr2h (圆锥的体积=1/3 同底面半径等高的圆柱体的体积) (六)所有直柱体(包括圆柱和直棱柱)的体积都有：V=底面积×高 直棱柱：所有侧面的棱都垂直于底面而上下两底相互平行的棱柱。按底面形状可分为三棱柱、四棱柱、五 棱柱……。其中四棱柱的底面是长方形的是长方体，如果长方体所有棱长都相等就是正方体。 整理范本