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全等三角形的判定(全等三角形的证明)

  全等三角形的判定(全等三角形的证明)
  一、引言
  近年来,有关不同国家数学教材比较研究的文献日益丰富,但已有研究大多关注现行教材。作者曾在国家社会科学基金"十一五"规划教育学重点课题"主要国家高中数学教材的比较研究"子课题九的研究过程中,深深体会到,要全面、深入地研究某个国家的数学教材,就需要了解该国的数学教育史。因此,早期美国几何教材进入了我们的视野。
  全等三角形是平面几何的基础,在欧几里得《几何原本》中,第1卷命题4就安排了全等三角形判定定理,可见该知识点对于平面几何的重要性。那么,围绕全等三角形这一主题,早期美国几何教材呈现了哪些内容?与今天的教材有何异同?对今天教材的编写有何启示?为了回答上述问题,我们对19世纪末至20世纪初三十年间的10种美国中学几何教材进行了研究。
  二、基本信息
  10种早期几何教材中,教材4~6和教材10没有给出全等三角形的定义,教材1~3和教材7~9给出了定义,这些定义可分成两类。第1类为"全等图形"的定义(教材1):若两个图形(三角形)的所有部分对应相等,则称这两个图形全等。第2类为"全等三角形"的定义(2,3,7,8,9):若两个图形(三角形)所有部分对应重合,则称这两个图形全等。教材4,5,6,10未给出全等形的定义。
  引入全等三角形判定定理的方式有三类:第1类为直接引入(教材1,2,4,5,6,8,9);第2类为问题引入(教材3),即通过提出如何构造与已知三角形全等的图形的一系列问题引入;第3类为实验探究引入(教材7,10),即通过实验探究如何构造与已知三角形全等的三角形。
  与《几何原本》一样,10种教材都给出了边角边、角边角和边边边定理。定理的顺序安排有两种:第1种顺序是《几何原本》中的顺序(教材1~6,9,10),即"边角边—角边角—边边边";第2种顺序(教材7,8),即"角边角—边角边—边边边"。
  此外,教材2中出现了"角角边"定理。还给出"边边角"定理:若两个三角形有两条边和其中一条边的对角分别相等,则另一条相等的边所对的角相等或互补。证明采用了叠合法。
  作为特例,10种教材都给出了直角三角形全等的判定定理,包括直角三角形中边角边定理、角边角定理、角角边定理、HL定理。而对于HL定理的证明,教材1采用了叠合法,教材3,4,6,7,9,10则采用了叠合法+等腰三角形性质+角角边定理,教材5采用了叠合法+边边边定理证明。
  三、边边边定理的证明

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